משפט ההתכנסות המונוטונית

בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט על האינטגרל של סדרה עולה של פונקציות מדידות ואי-שליליות. לפי המשפט, במקרה זה האינטגרל של הגבול שווה לגבול האינטגרלים.

זהו משפט יסודי וחשוב בתורת המידה, ויש לו השלכות רבות, כדוגמת הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות הנשלטת.

ניסוח

יהי $(X,{ℱ},\mu )$ מרחב מידה. תהי $f_1,f_2,\dots$ סדרת פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, המקיימות $\left|f_n\right|\le \left|f_{n+1}\right|$ לכל $n=1,2,\dots$ כמעט בכל מקום. נכתוב $f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n$ (נשים לב שממונוטוניות גבול זה קיים, גם אם אולי אינסופי). אז מתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{X}{\int }fd\mu$.

הוכחה

ראשית יש לשים לב כי הגבול $f(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ קיים בכל נקודה (סופי או אינסופי), כי הסדרה מונוטונית.

הכיוון $\ge$ ברור, כי $f\ge f_n$ לכל $n$, ולכן ממונוטוניות האינטגרל $\int f\ge \int f_n$, ולכן גם $\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_n$.

לצורך הכיוון $\le$, מספיק להראות (לפי הגדרת אינטגרל לבג) כי לכל פונקציה פשוטה $\varphi \le f$ ולכל $0<a<1$ מתקיים $\int a\varphi \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_n$ (כי אז נשאיף $a\to 1^{-}$).

יהי $A_n={(f_n-a\varphi )}^{-1}([0,\mathrm{\infty }])$, קבוצה מדידה. גם $A_n\subseteq A_{n+1}$ ממונוטוניות, ו-$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=X$ - אכן, אם $x\in X,\varphi (x)=0$ אז $x\in A_1$; אחרת $f(x)>a\varphi (x)$ ומהשאיפה $f_n\to f$ נובע שקיים $n$ כך ש-$f_n(x)>a\varphi (x)$, כלומר $x\in A_n$.

לכן, $\underset{X}{\int }\varphi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A_n}{\int }\varphi$. כעת, $\underset{X}{\int }{f}_n\ge \underset{A_n}{\int }{f}_n\ge \underset{A_n}{\int }a\varphi$ וביחד מקבלים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_n\ge \underset{X}{\int }a\varphi$ כדרוש.

ראו גם

• הלמה של פאטו
• משפט ההתכנסות הנשלטת
• משפט ההתכנסות של ויטלי

משפט_ההתכנסות_המונוטונית19931496Q1153584