הלמה של פאטו

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, הלמה של פאטו (על-שם המתמטיקאי הצרפתי פייר פאטו) מקשרת באמצעות אי-שוויון בין הגבול התחתון של האינטגרל (לפי לבג) של סדרת פונקציות ובין האינטגרל של הגבול התחתון של אותה סדרה. בכך היא מאפשרת לקבל מידע מתכונות ההתכנסות של סדרת הפונקציות על תכונות ההתכנסות של סדרת האינטגרלים שלהן.

שימוש מיידי של הלמה הוא בהוכחת משפט ההתכנסות הנשלטת.

ניסוח פורמלי

אם סדרת פונקציות אי-שליליות ומדידות, אז מתקיים אי-השוויון

הוכחה

הוכחת הלמה מסתמכת על משפט ההתכנסות המונוטונית, העוסק בסדרה עולה של פונקציות מדידות ואי שליליות. לצורך ההוכחה מגדירים סדרה חדשה של פונקציות באמצעות הסדרה המקורית, כך שהסדרה החדשה עונה על תנאי משפט ההתכנסות המונוטונית.

אם כן, מגדירים .

מיד ברור כי זוהי סדרה עולה של פונקציות (שכן האינפימום נלקח על קבוצה הולכת וקטנה). מכיוון שזו סדרה עולה, קיים לה גבול (אם מתירים לפונקציות לקבל גם אינסוף בתור ערך). כמו כן מתקיימות שתי התכונות הבאות:

  • (ולכן גם )

באמצעות שתי תכונות אלו ומשפט ההתכנסות המונוטונית מקבלים:

למת פאטו ההפוכה

למת פאטו ההפוכה קובעת כי אם סדרת פונקציות מדידות וחסומות על ידי פונקציה אינטגרבילית, אז .

כדי להוכיח זאת, יש להביט בסדרת הפונקציות האי-שליליות , ולהפעיל את למת פאטו הרגילה:

דוגמאות

  • בלמת פאטו לא תמיד מתקיים שוויון, ואפילו אפשר להגיע למצב של . למשל (כאשר הפונקציה המציינת).
  • בעזרת למת פאטו ולמת פאטו ההפוכה אפשר להוכיח את "ההפך" למשפט ההתכנסות המונוטונית – אם סדרה יורדת של פונקציות אי-שליליות אינטגרביליות, אז .
אכן, אם נסמן ,
לפי למת פאטו  ;
לפי למת פאטו ההפוכה  ;
וביחד .

ראו גם


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0