משפט כריך החזיר

משפט כריך החזיר (אנגלית: Ham sandwich theorem) הוא משפט בעל שימושים בטופולוגיה, קומבינטוריקה ותורת המידה.

המשפט נוסח על ידי הוגו שטיינהאוס והוכח על ידי סטפן בנך.

שמו של המשפט מגיע מהניסוח הציורי הבא: "ישנו כריך עם בשר חזיר (ham sandwich) במרחב ה-d ממדי בעל d מילויים שונים. אז ניתן לחתוך אותו בסכין ישרה כך שכל אחד מהמילויים מתחלק שווה בשווה בין הצדדים". עבור d=2 הוא לעיתים מכונה "משפט הפנקייק". שמות נוספים הם "משפט הלחם, חזיר וגבינה" ( bread and cheese and ham) ו"משפט סטון-טוקי".

נוסח פורמלי

יהיו $A_{1}, . . . A_{d}$ קבוצות במרחב ה־d ממדי $ℝ^{d}$ מנפח סופי.

בהינתן על מישור H מהצורה $H = {x \in ℝ^{d} : x \cdot u}$ , נגדיר $H^{+} = {x : x \cdot u > 0}, H^{-} = {x : x \cdot u < 0}$ (יש לשים לב שהגדרות אלה שרירותיות ותלויות בבחירת u; עם זאת, המשפט סימטרי ביחס אליהן, אז זה בסדר).

המשפט קובע שקיים על-מישור H מממד d-1 כך שלכל i, הנפח של הקבוצות $A_{i} \cap H^{+}, A_{i} \cap H^{-}$ זהה.

הוכחה למקרה d=2

במקרה d=2 אפשר להוכיח באופן הבא: יהיו A,B קבוצות במישור עם נפח סופי. אז לכל כיוון של ישר, אם מרימים אותו מספיק יהיה מצד אחד יותר מחצי מ-A, ואם מורידים אותו מספיק, יהיה באותו צד פחות מחצי. ממשפט ערך הביניים יש הזזה בה כל צד הוא בדיוק חצי.

כעת נבחר כיוון שרירותי כלשהו, נמצא את ההזזה בה הוא חותך את A לשני חלקים שווים, ונבדוק מה הוא עושה ל-B. אם הוא חותך אותה לחלקים שווים, סיימנו. אם לא, נתחיל לסובב אותו ותוך כדי נזיז אותו כדי שימשיך לחתוך את A לשני חלקים שווים. אחרי סיבוב של 180 מעלות, נקבל את אותו ישר שהתחלנו ממנו אך חלקי B נמצאים בצדדים ההפוכים (כלומר אם קוראים לאחד הצדדים שרירותית "מעל הישר" ולשני "מתחת", אז אחרי הסיבוב מה שהיה מעל הישר כעת מתחתיו וההפך).

אם נגדיר את הפוקנציה f לקבל כיוון ולהחזיר את $μ (B \cap H^{+}) - μ (B \cap H^{-})$ (כאשר $μ$ היא פונקציית השטח ו- $H^{+}, H^{-}$ הם חצאי המישור הנקבעים על ידי H), נקבל ש-f חיובית בנקודת ההתחלה ושלילית בנקודת הסוף. יתרה מכך, ניתן לבחור את ההזזות כך ש-f תהיה רציפה (זאת טענה ברורה אינטואיטיבית אך מעצבנת להוכחה טכנית ועל כן נוהגים להוכיח אותה ב"קל לראות"). לכן, ממשפט ערך הביניים יש נקודה בה היא מתאפסת, ואז $μ (B \cap H^{+}) = μ (B \cap H^{-})$ . כמו כן מההגדרה גם $μ (A \cap H^{+}) = μ (A \cap H^{-})$ כרצוי.

הוכחה למקרה הכללי

בהינתן כיוון u (כלומר וקטור $u \in ℝ^{d}$ כך ש- $| | u | | = 1$ , נסמן ב- $H_{u}$ את העל מישור שמאונך לו (פורמלית, $H_{u}^{+} = {x \in ℝ^{d} : x \cdot u = 0}$ ) כמו כן, $H_{u}^{+} = {x \in ℝ^{d} : x \cdot u > 0}, H_{u}^{-} = {x \in ℝ^{d} : x \cdot u < 0}$ . ניתן לראות ש $H_{u} = H_{- u}$ וכן $H_{u}^{-} = H_{- u}^{+}$ (כלומר, היפוך הווקטור משמר את H אך מחליף את צדדיו).

נגדיר פונקציה $f : S^{d} \to ℝ^{d}$ (כאשר $S^{d}$ זאת הספירה ה-d ממדית) בצורה הבאה: ראשית לכל $1 \leq i \leq d$ נגדיר $f_{i} (u) = μ (A \cap H_{u}^{+}) - μ (A \cap H_{u}^{-})$ . כעת נגדיר $f (u) = (f_{1} (u), . . ., f_{d} (u))$ . אז f רציפה, וכן $f (u) = - u$ (משום שהוא מחליף בין $H^{+}$ ל- $H^{-}$ . ממשפט בורסק אולם יש u שבו f(u)=0, ואז $H_{u}$ הוא העל מישור הרצוי.

הכללות

באופן כללי יותר, אם $μ_{1}, . . . μ_{d}$ מידות בורל במרחב ה-d ממדי כך ש- $μ_{i} (ℝ^{d})$ סופי לכל i וכן $μ_{i} (H) = 0$ לכל היפר מישור H, אז קיים היפר מישור H כך שלכל i, מתקיים $μ_{i} (H^{+}) = μ_{i} (H^{-})$ .

הכללה אחרת היא החלפת המישור ביריעה אלגברית. אם p פולינום ב-d משתנים מדרגה עד k, נגדיר $H_{p}^{+} = {x : p (x) > 0}, H_{p}^{-} = {x : p (x) < 0}$ . אז עבור $N = (\binom{d + k}{d}) - 1$ , לכל $μ_{1}, . . . μ_{N}$ סופיות ו-0 על קבוצות זניחות יש פולינום p כך ש- $μ_{i} (H_{p}^{+}) = μ_{i} (H_{p}^{-})$ .