משפט לוזין

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


משפט לוזין מבטא עיקרון יסודי באנליזה פונקציונלית, לפיו כל פונקציה מדידה לבג, במונחי תורת המידה היא כמעט פונקציה רציפה. כלומר כל פונקציה מדידה קרובה להיות פונקציה רציפה במובן של קירוב שיתואר בהמשך.

את המשפט הוכיח המתמטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין בשנת 1912.

נוסח פורמלי

תהי עבור פונקציה מדידה-לבג. לכל קיימת קבוצה סגורה עבורה (כאשר מידת לבג), כך שעל הפונקציה שווה כמעט תמיד לפונקציה רציפה.

הערה: ניתן להשתמש במשפט ההרחבה של טיצה כדי להרחיב את הפונקציה להיות פונקציה רציפה המוגדרת על כל .

הוכחה

נגדיר . בוודאי מתקיים , ומהיות מרחב מידה בעל מידה סופית () ניתן להשתמש ברציפות המידה ולהסיק כי .

נקבע עבורו , כלומר לכל מתקיים . כל פונקציה מדידה וחסומה על קטע סופי היא אינטגרבילית לבג, ולכן הצמצום הוא פונקציה אינטגרבילית לבג.

ידוע כי מרחב הפונקציות הרציפות צפוף במרחב הפונקציות האינטגרביליות-לבג, ולכן קיימת סדרת פונקציות רציפות המתכנסת ל- במרחב (כלומר ).

עוד ידוע שלכל סדרה המתכנסת ב- קיימת תת-סדרה המתכנסת נקודתית כמעט תמיד, לכן נניח ללא הגבלת הכלליות כי נקודתית כמעט תמיד.

ממשפט אגורוף ידוע שקיימת קבוצה מדידה עבורה , כך שעל ההתכנסות היא התכנסות במידה שווה. מתכונת הרגולריות של מידת לבג נובע שקיימת קבוצה קומפקטית עבורה , ולכן מתקבלת סדרת פונקציות רציפות המוגדרות על קבוצה קומפקטית המתכנסות במידה שווה. במקרה כזה ידוע כי הפונקציה הגבולית רציפה, ולכן היא פונקציה רציפה, אבל ברור מההגדרה כי .

הכללה

קיימת גרסה כללית יותר למשפט: יהי מרחב מידה כאשר מידת רדון. יהי מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה, היוצר מרחב מדיד עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, ותהי .

לכל , לכל קבוצה מדידה בעלת מידה סופית קיימת קבוצה מדידה המוכלת ב-, כך שמתקיים , כך שעל הקבוצה הפונקציה רציפה.

בנוסף, אם הקבוצה קומפקטית מקומית, אז ניתן לבחור את הנ"ל שתהיה קומפקטית, ובמקרה זה קיימת פונקציה רציפה בעלת תומך קומפקטי המקיימת .

לקריאה נוספת

  • N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 154 (1912), 1688–1690.


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0