מידת לבג

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מידת לבג היא פונקציית מידה על שדה המספרים הממשיים שמהווה הכללה של מושג האורך (אפשר להכליל מידת לבג של נפח על המרחב ). באמצעות מידת לבג אפשר להרחיב מושגים מהאנליזה הממשית, הבולט שבהם הוא האינטגרל.

הערה: כדי להבין מאמר זה יש להכיר את מושג המידה, עליו אפשר לקרוא במאמר מידה (מתמטיקה).

תכונות מידת לבג וניסוח פורמלי של מהותה

מידת לבג (Lebesgue) היא פונקציית מידה המוגדרת על אוסף הקבוצות המדידות בישר הממשי ומחזירה לכל קטע את האורך שלו. מידת לבג מסומנת באות m.

תכונות של מידת לבג:

  • מידת לבג היא אי-שלילית ומחזירה ערכים בין 0 לאינסוף (כולל אינסוף).
  • מידת לבג של קטע שווה לאורך הקטע.
  • מידת לבג היא סיגמא-סופית.
  • מידת לבג היא מידה שלמה.
  • מידת לבג של קבוצה בת מנייה היא אפס.
  • משפט ויטלי: לכל קבוצה שמידתה שונה מאפס, קיימת תת-קבוצה שאיננה מדידה.
  • מידת לבג אינווריאנטית תחת הזזה: אם A מדידה, אזי A+c מדידה ו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m(A) = m(A+c)} .

הבנייה של מידת לבג

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a,b) \subset \mathbb{R}} קטע ממשי. אזי האורך שלו, הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ l[a,b) = | [a,b) | = b - a} . הגדרת האורך טובה לכל קטע – סגור או פתוח באחד או שניים מקצותיו. קל לראות שפונקציית האורך המוגדרת על קטעים היא אדיטיבית (סופית) על קבוצת כל הקטעים המוכלים בישר הממשי.

כדי להרחיב אותה לפונקציה סיגמא-אדיטיבית, נגדיר מידה חיצונית (Outer Measure) על הישר הממשי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m^* (A \subset \mathbb{R} ) = \inf \left\{ \sum_{n}{|I_n|} \ \ : \ \ A \subset \bigcup_{n}{I_n} \ \ \mbox{and} \ I_n \mbox{ are intervals} \right\} }

כלומר, פונקציה זו מחזירה את האינפימום על קבוצת סכומי הארכים של קטעים המכסים את A.

קל לראות שהמידה החיצונית היא סיגמא-חצי־אדיטיבית (כלומר, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m^* ( \bigcup_{n}{A_n} ) \le \sum_{n} m^* (A_n)} ).

כדי להפוך אותה למידה עלינו לצמצמה על סיגמא-אלגברה שעליה היא תהיה סיגמא-אדיטיבית. סיגמא-אלגברה זו תיקרא "אוסף הקבוצות המדידות".

קבוצה A נקראת מדידה אם לכל קבוצה B מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m^*(B) =m^*(A \cap B) + m^*(B - A) } .

אפשר להראות שעבור הישר הממשי, אוסף כל הקבוצות המדידות הוא הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי כל קבוצות בורל והקבוצות בעלות מידה אפס. על הקבוצות המדידות, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m(A) = m^*(A)} וזו מידת לבג.

אוסף הקבוצות המדידות מכיל מגוון רב של קבוצות שימושיות:

  • כל קטע (פתוח, סגור וכו') הוא קבוצה מדידה.
  • כל קבוצה פתוחה היא קבוצה מדידה.
  • כל קבוצה סגורה היא מדידה.
  • כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות ( הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_{\sigma}} ) הוא קבוצה מדידה.
  • כל חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות ( הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G_{\delta}} ) הוא קבוצה מדידה.
  • כל איחוד או חיתוך בן מנייה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצה מדידה.
  • כל קבוצה בעלת מידה אפס היא קבוצה מדידה.
  • כל קבוצה בת מנייה היא קבוצה מדידה ומידתה היא אפס.

רוב תתי-הקבוצות של הישר אינן מדידות, אך בנייה מפורשת של קבוצה לא מדידה אינה פשוטה. ניתן לבנות קבוצה לא מדידה למשל על ידי הגדרת יחס שקילות על נקודות הקטע הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [0,1)} : הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q}} . קל לראות שהיחס הוא יחס שקילות שמפצל את הקטע למחלקות שקילות בנות אלף 0 אברים כל אחת. נבנה קבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} שמורכבת מנציג אחד עבור כל מחלקת שקילות (לשם כך נדרשת אקסיומת הבחירה). כל הזזה במספר רציונלי (כאשר נתייחס לקטע כמעגל היחידה) מספקת קבוצה נוספת של נציגים שזרה לכל האחרות, ואיחוד כל ההזזות הוא בחזרה קטע היחידה. אם הקבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} הייתה מדידה אז גם הזזותיה היו כן, והמידה שלהן הייתה זהה לשלה. לכן, בין אם מידתה הייתה אפס ובין אם היא הייתה חיובית, הדבר עומד בסתירה לסיגמא-אדיטיביות של המידה.

הכללה לממד כלשהו

את מידת לבג אפשר להכליל בקלות למרחב ובכך להכליל את מושג ה"היפר-נפח": אורך (n=1), שטח (n=2), הנפח (n=3) וכו. תהליך הבניה זהה לחלוטין, רק שבמקום בקטעים משתמשים בהיפר-תיבות (מכפלה קרטזית של קטעים עם קצוות תחתונים סגורים וקצוות עליונים פתוחים) הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_n = \prod_{k=1}^{n}{ [a_k , b_k )} } , ומגדירים נפח על חוג התיבות באמצעות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v ( I_n) = \prod_{k=1}^{n}{| b_k - a_k |}} . מכאן, מגדירים מידה חיצונית ומצמצמים אותה על אוסף כל הקבוצות המדידות הנוצרת על ידי חוג התיבות. במקרה זה, קבוצה A נקראת מדידה רק אם לכל קיימת קבוצה B בחוג התיבות כך ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m( A \Delta B) < \varepsilon} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} מסמל הפרש סימטרי של קבוצות.

ישנה גם הכללה לממד לא שלם בהכרח על ידי מידת האוסדורף.

יישומים

  • מידת לבג מאפשרת לחשב מידות של קבוצות מוזרות. למשל: המידה של קבוצת קנטור היא 0 למרות שהיא איננה בת-מנייה (למעשה, עוצמתה היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph} ).
  • באמצעות מידת לבג אפשר להגדיר את אינטגרל לבג.
  • נאמר שתכונה מתקיימת כמעט בכל מקום אם היא מתקיימת בקבוצה שהמשלים היא קבוצה ממידה אפס.

ראו גם