משפט פונסלה-שטיינר

בגאומטריה אוקלידית, משפט פונסלה-שטיינר על בנייה בסרגל ובמחוגה קובע כי כל הבניות שניתנות לביצוע באמצעות סרגל ומחוגה גם יחד, ניתנות לביצוע גם באמצעות סרגל בלבד, זאת כל עוד נתונים מעגל אחד ומרכזו במישור הסרטוט.

מכך נובע שאמנם המחוגה מקלה על ביצוע הבניות, אך ברגע שהמעגל הראשון שורטט, היא כבר אינה נדרשת. כל הבניות שאחר כך ניתנות לביצוע בעזרת הסרגל בלבד, אף על פי שלא ניתן לשרטט קשתות של מעגלים בלעדיה. כלומר, ניתן להשתמש במחוגה למטרות אסתטיות, אך אין בה צורך לצורך הבנייה עצמה.

תוצאה זו היא הטובה ביותר האפשרית; אם מרכז המעגל אינו נתון הבניות אינן ניתנות עוד להתבצע באמצעות סרגל בלבד. בנוסף, אין זה הכרחי שהמעגל כולו יהיה נתון, קשת קטנה כלשהי מספיקה.

ז'אן-ויקטור פונסלה (Jean-Victor Poncelet‏; 1867–1788) שיער לראשונה תוצאה זו ב-1822, והיא הוכחה בידי יאקוב שטיינר ב-1833.

רקע

עוד מימי יוון העתיקה, הבניות הגאומטריות בעזרת סרגל ומחוגה היו כלי מרכזי לחקר גאומטריה. משימות כמו חציית זוויות, בניית משולשים שווי צלעות, וחלוקת קטעים ביחס נתון היו נבחנות בכלים אלו בלבד.

במאה ה־10, המתמטיקאי הפרסי אבו אל־ופאא' בוז'אני (940–998) העלה רעיון של שימוש במחוגה עם פתיחה קבועה – "מחוגה חלודה" (rusty compass). הרעיון היה שאפשר לבצע רבות מהבניות גם עם מחוגה מוגבלת. בתקופת הרנסנס אמנים כמו לאונרדו דה וינצ'י ואלברכט דירר עשו שימוש פרקטי בגישות אלו כדי לייצר פרספקטיבות ותבניות מדויקות.

במאה ה־19, פונסלה פיתח את הרעיון תאורטית (1822) בהשראת משפט מוהר–מאסקרוני (Mohr–Mascheroni theorem), שהראה שניתן לבצע כל בנייה גם במחוגה בלבד. פונסלה העלה את ההשערה שגם הסרגל מספיק, אם יש לנו מעגל נתון ומרכזו. עבודתו סללה את הדרך לתחום הגאומטריה הפרויקטיבית. יאקוב שטיינר (1833) היה זה שנתן הוכחה פורמלית מלאה להשערה זו, מה שהפך את המשפט לבסיסי בגאומטריה הקלאסית.