משפט רימן (תורת הטורים)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


בחשבון אינפיניטסימלי, משפט רימן הוא משפט הקובע שלכל טור המתכנס בתנאי ולכל מספר ממשי ניתן לשנות את סדר האברים של הטור ולקבל טור המתכנס למספר. בנוסף ניתן לשנות את סדר האברים ולקבל טור המתבדר ל־ או אפילו טור שאינו מתכנס גם במובן הרחב. את המשפט הוכיח ברנהרד רימן במאה ה-19.

משפט רימן הוא דוגמה נפוצה לתוצאה מתמטית הנוגדת את האינטואיציה. תכונה מוכרת של פעולת החיבור היא חילופיות; כאשר נתון סכום עם מספר סופי של מחוברים, ניתן לשנות בחופשיות את סדר הסכימה של האברים והדבר לא ישפיע על התוצאה. לעומת זאת, משפט רימן מראה שבמקרים מסוימים, תכונה זו נכשלת בסכומים עם מספר אינסופי של מחוברים, שם סדר הסכימה כן חשוב.

ניסוח פורמלי

הגדרות

נאמר כי טור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n} מתכנס בתנאי (בניגוד למתכנס בהחלט) אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n} מתכנס אך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty|a_n|} מתבדר.

נסמן ב־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma(n)} תמורה על קבוצת המספרים הטבעיים, כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma:\N\to\N} היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל.

הטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}} הוא הטור המתקבל מ־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n} על ידי שינוי סדר אבריו לפי התמורה .

המשפט

יהי טור המתכנס בתנאי. לכל מספר ממשי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} קיימת תמורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\mapsto\sigma(n)} עבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}=L} . קיימת תמורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\mapsto\sigma(n)} עבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}=\infty} (או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty} ), וקיימת תמורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\mapsto\sigma(n)} עבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}} אינו מתכנס גם במובן הרחב.

דוגמה

דוגמה ידועה למשפט הוא הטור ההרמוני המתחלף:

מאחר שזהו טור לייבניץ, טור זה מתכנס. לפי טור טיילור של הלוגריתם הטבעי ידוע כי סכומו של הטור הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(2)} . מצד שני, טור הערכים המוחלטים של אבריו הוא הטור ההרמוני שידוע כי הוא מתבדר. על כן הטור ההרמוני המתחלף מתכנס בתנאי. נבחן את הטור הבא המתקבל מהטור ההרמוני המתחלף על ידי שינוי סדר אבריו: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac{1}{10}-\cdots} ברור כי זהו שינוי פשוט בסדר האברים, כי כל אבר מהטור ההרמוני המתחלף יופיע גם בטור החדש פעם אחת ויחידה. נקבץ אברים (מותר לקבץ את הטור לקבוצות של שלוש כי בחינה מדוקדקת של הסכומים החלקיים תגלה שההפרשים בין כל שלושה סכומים עוקבים שואף ל־0) ונקבל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}&=\left(1-\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac16-\frac18\right)+\left(\frac15-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}\right)+\cdots\\&=\frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots=\frac12\left(1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots\right)=\frac12\ln(2)\end{align}}

כלומר סכום הטור השתנה לחצי מסכום הטור לפני שינוי סדר האברים.

הוכחה

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n} טור מתכנס בתנאי. נניח ללא הגבלת הכלליות כי אין בטור אפסים (שאינם משפיעים על סכום הטור ולכן ניתן להתעלם מהם).

נפריד את אברי הטור לשני טורים זרים; טור האברים החיוביים וטור האברים השליליים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^-} . מכיוון שהטור הכללי מתכנס בתנאי, ידוע לנו כי שני הטורים אינסופיים ומתבדרים לאינסוף ומינוס אינסוף בהתאמה. כמו כן מכיוון שהטור הכללי מתכנס, ידוע לנו שסדרת אברי כל טור מתכנסת ל־0.

התכנסות לסכום סופי

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} מספר ממשי חיובי (ההוכחה למספר שלילי זהה), נראה כי קיימת תמורה של אברי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n} כך שהסכום מתכנס ל־ . ראשית נסכום את אברי הטור החיובי לפי הסדר עד המספר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_1} שהוא הראשון שלגביו מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{k_1}a_n^+>L} , כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{k_1-1}a_n^+\le L<\sum_{n=1}^{k_1}a_n^+}

עתה נמשיך בכך שנוסיף לסכום את אברי הטור השלילי לפי הסדר עד המספר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_2} שהוא הראשון שלגביו מתקיים

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{k_1}a_n^++\sum_{n=1}^{k_2-1}a_n^-\ge M>\sum_{n=1}^{k_1}a_n^++\sum_{n=1}^{k_2}a_n^-}

נשוב לטור האברים החיוביים ונמשיך לסכום עד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_3} שהוא הראשון שלגביו הטור חוזר להיות גדול מ־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} , ואז עוברים לטור השלילי וכן הלאה עד אינסוף. זהו תהליך מוגדר היטב שקל לראות שהוא מגדיר תמורה על אברי הטור. בכל פעם ההפרש בין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} לטור הולך וקטן, שכן מצורת הבנייה ההפרש ביניהם הוא האבר האחרון שמוסיפים לטור, כלומר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_k^+} או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |a_k^-|} , ואברי הטור הולכים וקרבים ל־0 ותרומתם לסכום קטנה, ובפרט הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{k\to\infty}a_k^+=0=\lim_{k\to\infty}a_k^-} . פורמלית, לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon>0} קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} כך שלכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_N\le n} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |a_n|<\varepsilon} , ולכן ההפרש בין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} והסכום עד והלאה בהכרח מאבר האחרון שבו חל חילוף יחס הסדר, ואבר זה קטן מ־ . לכן הטור מתכנס ל־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} .

התבדרות לאינסוף

כדי שהטור יתבדר לאינסוף נסכום את האברים החיוביים עד שהסכום גדול מ־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |a_1^-|} (האבר הראשון בטור השליליים) ואז נחבר אבר זה. נחזור לטור החיוביים ונחבר מספיק מחוברים כך שהסכום גדול מ־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+|a_2^-|} ומחברים גם אותו. ובאופן כללי מחברים מספיק מחוברים כך שהסכום יהיה גדול מ־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)+|a_n^-|} ואז מחברים את . מכאן שבדרך זו הסכום גדול מכל מספר טבעי ולכן הטור מתבדר לאינסוף. באופן דומה ניתן להחליף בין התפקיד של החיוביים והשליליים ולקבל טור המתבדר למינוס אינסוף.

התבדרות שלא לאינסוף

נבחר שני מספרים, נניח 0 ו־1. נסכום את האברים החיוביים עד שהסכום גדול מ־1, נוסיף את האברים השליליים עד שהסכום קטן מ־0, ונחזור להוסיף חיוביים עד שהסכום גדול מ־1 וכן הלאה. 0 ו־1 יהיו שניהם גבולות חלקיים של סדרת הסכומים החלקיים ולכן הסכום לא יתכנס גם במובן הרחב.

המשפט ההפוך

אם הדיון מוגבל לטורים מתכנסים, הרי שהמשפט ההפוך נכון גם הוא. טור שסכומו יכול להשתנות עם שינוי סדר הסכימה הוא בהכרח טור מתכנס בתנאי. כלומר, בטור מתכנס בהחלט ניתן לשנות את סדר הסכימה בחופשיות.

קישורים חיצוניים

  • גדי אלכסנדרוביץ', משפט רימן, באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0