התכנסות בתנאי

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, נאמר כי אינטגרל או טור מתכנס בתנאי, אם הוא מתכנס אבל לא מתכנס בהחלט, או במילים אחרות:

טור מתכנס בתנאי אם מתכנס אך מתבדר.

דוגמה ידועה לטור מתכנס בתנאי היא הסדרה ההרמונית המתחלפת (או טור לייבניץ), אשר מוגדרת על ידי:

טור זה מתכנס ל- . טור זה מתכנס בתנאי כי הערך כטור, סכום הערכים המוחלטים של כל איבר נותן לנו את הסדרה ההרמונית, שאינה מתכנסת.

משפט רימן קובע כי בטורים מתכנסים בתנאי, חיבור אינה פעולה קומוטטיבית, וכי על ידי החלפת סדר האיברים ניתן להגיע לכל ערך אחר (אפילו לטורים שלא מתכנסים), דבר שאינו אפשרי בטור שמתכנס בהחלט, כי שינוי הסדר אינו משפיע על הסכום. תוצאה ידועה בתורת הטורים היא כי טור המתכנס בהחלט הוא גם מתכנס (במובן הרגיל), אך התוצאה ההפוכה איננה נכונה תמיד, כפי שניתן לראות עם טור לייבניץ.

תוצאה חשובה נוספת היא משפט לייבניץ, האומר כי תהי סדרה חיובית שיורדת מונוטונית לאפס. אזי הטור המתחלף הנוצר על ידה מתכנס. זנב הטור, , קטן תמיד בערכו המוחלט מגודל האיבר הראשון בו. כלומר: . כמו כן מתקיים . מבחן זה נותן לנו דרך לדעת איזה טורים מתכנסים בתנאי על בסיס סדרות ידועות.

משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של מבחן דיריכלה, המחליף את הסדרה של 1 ו־1-, אם סדרת מספרים מרוכבים עבורה לכל טבעי, אז הטור מתכנס.

שני מבחני ההתכנסות הללו הם מאוד חשובים בתורת הטורים, כי רוב מבחני התכנסות לטורים אינם עובדים על טורים שמתכנסים בתנאי, כי יש להם תנאי בסיסי שהוא שהסדרה תהיה חיובית, וידוע שסדרה שהיא חיובית יוצרת טור שמתכנס בהחלט.

ניתן באותה דרך להגדיר גם אינטגרל שמתכנס בתנאי, ודוגמה לאינטגרל שמתכנס בתנאי הוא האינטגרל של הפונקציה בחלק האי־שלילי של הציר הממשי (ראו אינטגרל פרנל).

התכנסות לא בתנאי

נאמר כי טור לא מתכנס בתנאי אם הוא אינו מתכנס בהחלט אך כל שינוי של סדר האיברים שלו נותן את הסכום המקורי, זאת אומרת שאינו מקיים את משפט רימן. ניתן לראות כי טורים כאלו אינם יכולים להיות ממשים, אך קיימים טורים כאלו במרחבים אחרים, למשל הטור כאשר הוא בסיס אורתוגונלי של מרחב בנך. בצורה יותר כללית, אריה דבורצקי וקלאוד אמברוס רוג'רס הוכיחו את המשפט הבא:

כל מרחב בנך מממד אינסופי מכיל סדרה המתכנסת לא בתנאי ולא בהחלט.

הוכחה: לכל ε > 0 נבחר כל שמתקיים:

יהי

לכן לכל מספר שלם יהי

לכן

ולכן , וזה מוכיח כי ולכן הטור מתכנס לא בתנאי ולא בהחלט. מש"ל.

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0