משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב מתאר קריטריון המאפיין התכנסות בהסתברות של תהליך מקרי.

אחת ההוכחות של החוק החזק של המספרים הגדולים עושה שימוש במשפט זה יחד עם הלמה של קרונקר.

המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

נוסח פורמלי

תהי $\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים במרחב הסתברות $\left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)$. מתקיים כי הטור $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ מתכנס בהסתברות, אם ורק אם קיים קבוע $A>0$, כך שמתקיימים שלושת התנאים הבאים גם יחד:

1. הטור $\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(\left|X_{n}\right|\geq A\right)$ מתכנס.
2. נסמן $Y_{n}=X_{n}\cdot 1_{\left\{\left|X_{n}\right|\leq A\right\}}$. הטור $\sum _{n=1}^{\infty }\mathbf {E} \left[Y_{n}\right]$ מתכנס.
3. הטור $\sum _{n=1}^{\infty }\mathbf {Var} \left(Y_{n}\right)$ מתכנס.

הוכחה

בכיוון ראשון, נראה כי אם שלושת התנאים מתקיימים אז הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n} מתכנס. מתנאי 1 יחד עם הלמה של בורל-קנטלי נובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_n = Y_n} בהסתברות 1 עבור כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \mathbb{N}} גדול מספיק. מתנאים 3-2 יחד עם משפט שני הטורים של קולמוגורוב נובע כי הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} Y_n} מתכנס בהסתברות.

בכיוון השני, נראה כי אם הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n} מתכנס בהסתברות אז שלושת התנאים שבמשפט מתקיימים:

1. נשים לב כי במקרה זה הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P} \left( \left| X_n \right| \geq A \right)} מתכנס עבור כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A > 0} , שכן אם היה איזשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A > 0} שעבורו טור זה לא היה מתכנס, אז היינו מקבלים מהלמה של בורל-קנטלי כי המאורע $\left\{X_{n}\geq A\right\}$ מתרחש עבור אינסוף אינדקסים, ולכן היה נובע כי הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n} מתבדר בהסתברות, בסתירה להנחה.
2. נראה כי תנאי 3 גורר את תנאי 2. מתנאי 1 המופעל למשל עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = 1} , ואם נניח שמתקיים תנאי 3, אז ממשפט שני הטורים של קולמוגורוב נובע כי הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( Y_n - \mathbf{E} \left[ Y_n \right] \right)} מתכנס בהסתברות. אבל מתנאי 1 יחד עם התכנסות בהסתברות הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n} נובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} Y_n} מתכנס בהסתברות (מנימוק דומה לזה שבכיוון הראשון של ההוכחה), ולכן בהכרח גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{E} \left[ Y_n \right]} מתכנס.
3. תחילה נראה כי ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי $\mathbf {E} \left[Y_{n}\right]=0$. נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y_n'} משתנה מקרי בלתי-תלוי ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y_n} ובעל אותה ההתפלגות. אזי אם נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_n = Y_n - Y_n'} , נקבל סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים וחסומים על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2} (שכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y_n, Y_n'} שניהם חסומים על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ). כמו כן מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{Var} \left( Z_n \right) = 2 \mathbf{Var} \left( Y_n \right)} , וכן גם הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} Z_n = \sum_{n=1}^{\infty} Y_n - \sum_{n=1}^{\infty} Y_n'} מתכנס בהסתברות. אם כך נראה כי תנאי 3 מתקיים עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( Z_n \right)_{n=1}^{\infty}} , כלומר שהטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{Var} \left( Z_n \right)} מתכנס. דבר זה נראה באופן כללי בלמה הבאה.

למת עזר

למה: תהי $\left(Z_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי תוחלת אפס ובעלי שונויות שנסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{Var} \left( Z_n \right) = \sigma_n^2} , החסומה בהסתברות על ידי קבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C > 0} כלשהו. אזי הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_n^2} מתכנס.

הוכחה: נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_i = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_i} . עבור כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L > 0} נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_L = \min \left\{ i \geq 0 \mid \left| S_i \right| \geq L \right\}} . מההנחה בלמה לגבי החסימות, נובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P} \left( \tau_L = \infty \right) \to 1} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L \to \infty} . כמו כן אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_L < \infty} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| S_{\tau_L} \right| \leq L+C} .

היות שהנחנו כי התוחלות הן אפס וכי יש אי-תלות, נובע כי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ S_n^2 \right] = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} \left[ Z_i^2 \right] + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbf{E} \left[ Z_i \cdot Z_j \right] = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2}

נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \wedge \tau_L = \min \left\{ n, \tau_L \right\}} , ואם נחליף את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \wedge \tau_L} , נקבל כי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ S_{n \wedge \tau_L}^2 \right] = \mathbf{E} \left[ \left( \sum_{j=1}^{n} Z_j \cdot 1_{ \left\{ j \leq \tau_L \right\} } \right)^2 \right] = \sum_{j=1}^{n} \mathbf{E} \left[ Z_j^2 \cdot 1_{ \left\{ j \leq \tau_L \right\} } \right] + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbf{E} \left[ Z_i \cdot Z_j \cdot 1_{ \left\{ j \leq \tau_L \right\} }\right]}

נשים לב כי המאורע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ j \leq \tau_L \right\} = \left\{ \tau_L < j-1 \right\}^c} נקבע על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_1, Z_2, \dots, Z_{j-1}} , ולכן הוא בלתי-תלוי ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_j} . אם כך נקבל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( L+C \right)^2 \geq \mathbf{E} \left[ S_{n \wedge \tau_L}^2 \right] = \sum_{j=1}^{n} \sigma_j^2 \cdot \mathbb{P} \left( j \leq \tau_L \right) +2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbf{E} \left[ Z_i \cdot 1_{ \left\{ j \leq \tau_L \right\} } \right] \cdot \mathbf{E} \left[ Z_j \right] \geq \mathbb{P} \left( \tau_L = \infty \right) \cdot \sum_{j=1}^{n} \sigma_j^2}

אם כך נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L > 0} גדול דיו כך שיתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P} \left( \tau_L = \infty \right) > 0} , ואם נשאיף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \to \infty} נקבל כי הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_n^2} מתכנס, כנדרש.

דוגמה

באמצעות משפט זה ניתן למצוא התנהגות מפתיעה של הגרסה האקראית של הטור ההרמוני המתחלף, השונה מההתנהגות המוכרת של הטור ההרמוני המתחלף. ממבחן לייבניץ להתכנסות טורים אנו יודעים כי הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right)^n \frac{1}{n}} מתכנס וכמותו גם הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right)^n \frac{1}{\sqrt{n}}} מתכנס. עם זאת נראה כי אם הסימנים אינם מתחלפים באופן דטרמיניסטי אלא מוגרלים אקראית, אפילו אם הם מוגרלים בהסתברות שווה — מתגלה התנהגות שונה.

נתבונן בטור שבו הסימן של כל איבר נקבע בצורה אקראית. כלומר, תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \mathbf{s}_n \right)_{n=1}^{\infty}} סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי ההתפלגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P} \left( \mathbf{s}_n = +1 \right) = \mathbb{P} \left( \mathbf{s}_n = -1 \right) = \frac{1}{2}} .

ניתן להראות כי הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{s}_n \cdot \frac{1}{n}} מקיים את שלושת התנאים במשפט, ולכן הוא מתכנס בהסתברות, בדומה להתכנסות של הגרסה הרגילה לטור בעל סימנים מתחלפים.

מנגד, ניתן להראות כי הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{s}_n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}} אינו מקיים את תנאי 3 במשפט, ולכן הוא מתבדר בהסתברות, בניגוד להתכנסות של הגרסה הרגילה לטור בעל סימנים מתחלפים.

קישורים חיצוניים

• Rongfeng Sun, Lacture notes on Probability Theory, Lacture 4