עקום בזייה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
קובץ:Bezier curve.svg
עקום בזייה

עקום בזייה (Bézier) הוא תיאור פרמטרי של עקום השימושי במיוחד בגרפיקה ממוחשבת. עקומי בזייה מוגדרים על ידי קבוצה של נקודות בקרה, כאשר נקודת הבקרה הראשונה והאחרונה הן קצות העקום, ויתר הנקודות לא בהכרח מצויות על העקום (ולרוב לא נמצאות עליו).

לעקומי בזייה שימושים רבים בתחומי הגרפיקה הממוחשבת. בין היתר משמשים עקומי בזייה בגרפיקה וקטורית כדי למדל עקומים חלקים שאותם ניתן להרחיב בצורה אינסופית, ובתוכנות לעריכה גרפית נעשה שימוש בצירוף של מספר עקומי בזייה כדי להגדיר מסלולים (paths).

הבסיס המתמטי לעקומי בזייה הם פולינומי ברנשטיין, שאותם פיתח המתמטיקאי הרוסי סרגיי נתנוביץ' ברנשטיין ב-1912[1], אולם חשיבותם הובנה רק כעבור כחצי מאה. שימוש בפולינומים אלו פותח ב-1959 על ידי Casteljau עבור שימוש של סיטרואן. שימוש נרחב בעקומים אלו נעשה בעקבות עבודתו של המהנדס הצרפתי פייר בזייה (Pierre Bézier) ב-1962 שהשתמש בהם לתכנון גוף רכב של חברת רנו.

ניתן להכליל את עקומי בזייה לממדים גבוהים יותר באמצעות משטחי בזייה.

הגדרה

עקומי בזייה מוגדרים על ידי קבוצת נקודות בקרה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_0,\ldots,P_n} , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא דרגת העקום (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=1} העקום הוא לינארי, כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2} הוא ריבועי וכו').

העקום מוגדר בצורה הבאה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{B}(t)&=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(1-t)^{n-i}t^i\mathbf{P}_i\\ &=(1-t)^n\mathbf{P}_0+\binom{n}{1}(1-t)^{n-1}t\mathbf{P}_1+\cdots\\ &{}\cdots+\binom{n}{n-1}(1-t)t^{n-1}\mathbf{P}_{n-1}+t^n\mathbf{P}_n\ ,\ t\in[0,1] \end{align} }

עקום בזייה לינארי

בהינתן שתי נקודות בקרה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{P}_0,\mathbf{P}_1} , עקום בזייה לינארי הוא פשוט הקו הישר בין שתי הנקודות הניתן על ידי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0+t(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)=(1-t)\mathbf{P}_0+t\mathbf{P}_1\ ,\ t\in[0,1]}

זה שקול לאינטרפולציה לינארית.

עקום בזייה ריבועי

עקום בזייה ריבועי הוא עקום המוגדר על ידי שלוש נקודות בקרה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2}} , ומוגדר על ידי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{B}(t)=(1-t)\bigl[(1-t)\mathbf{P}_0+t\mathbf{P}_1\bigr]+t\bigl[(1-t)\mathbf{P}_1+t\mathbf{P}_2\bigr]\ ,\ t\in[0,1]}

ניתן לראות בכך אינטרפולציה לינארית על הנקודות המוגדרות על ידי עקומי בזייה, המוגדרים באמצעות שתי הנקודות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{P}_0,\mathbf{P}_1} ושתי הנקודות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2} בהתאמה.

ניתן לראות זאת בסידור מחדש של המשוואה הקודמת:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{B}(t)=(1-t)^2\mathbf{P}_0+2(1-t)t\mathbf{P}_1+t^2\mathbf{P}_2\ ,\ t\in[0,1]}

נגזרת העקום לפי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} היא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{B}'(t)=2(1-t)(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)+2t(\mathbf{P}_2-\mathbf{P}_1)}

מן הנגזרת ניתן להסיק כי המשיקים לעקום בנקודות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{P}_0,\mathbf{P}_2} נפגשים ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{P}_1} . ככל ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\in[0,1]} גדל – העקום מתרחק מ- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{P}_0} לכיוון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{P}_1} , ואז מתעקם לעבר מכיוון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{P}_1} .

Bézier 2 big.gif

הערות שוליים

  1. Bernstein, S. N., Sur les recherches récentes relatives à la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes, Proc. of 5th Inter. Math. Congress Vol. 1, 1912, 256-266