פולינום ברנשטיין

פולינומי ברנשטיין לקירוב עקומה

בתחום האנליזה הנומרית, פולינום ברנשטיין, הקרוי על שם ממציאו, סרגיי נתנוביץ' ברנשטיין, הוא פולינום בתצורת ברנשטיין, כלומר מהווה צירוף לינארי של פולינומי הבסיס של ברנשטיין.

דרך יציבה מבחינה נומרית להעריך פולינומים בתצורת ברנשטיין היא בעזרת אלגוריתם דה-קסטלז'ו.

פולינומים בתצורת ברנשטיין היו בשימוש לראשונה על ידי ברנשטיין בהוכחה בונה עבור משפט הקירוב של סטון–ויירשטראס. עם כניסת הגרפיקה הממוחשבת, פולינומי ברנשטיין, במרווח המוגבל $[1,0]$, הפכו שימושיים וחשובים בצורה של עקומות בזייה.

הגדרה

n + 1 פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n מוגדרים כך:

$b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n.$

כאשר ${n \choose \nu }$ הוא המקדם הבינומי.

 פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n יוצרים בסיס עבור המרחב הווקטורי Π_n של פולינומים בדרגה של לכל היותר n.

שילוב לינארי של פולינומי הבסיס של ברנשטיין:

$B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)$

נקרא פולינום ברנשטיין או פולינום בתצורת ברנשטיין של מדרגה n. מקדמי $\beta _{\nu }$ נקראים מקדמי ברנשטיין או מקדמי בזייר.

דוגמה

מספר פולינומי הבסיס הראשונים של ברנשטיין הם:

${\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\\b_{0,4}(x)&=(1-x)^{4},&b_{1,4}(x)&=4x(1-x)^{3},&b_{2,4}(x)&=6x^{2}(1-x)^{2},&b_{3,4}(x)&=4x^{3}(1-x),&b_{4,4}(x)&=x^{4}\end{aligned}}$

תכונות

לפולינומי הבסיס של ברנשטיין התכונות הבאות:

• $b_{\nu ,n}(x)=0$, אם $\nu <0$ או $\nu >n$.
• $b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}$ ו $b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}$ כאשר $\delta$ היא  הדתלא של קרונקר.
• $b_{\nu ,n}(x)$ יש שורש עם כפילות $\nu$ בנקודה $x=0$ (הערה: אם $\nu =0$, אין שורש ב - 0).
• $b_{\nu ,n}(x)$ יש שורש עם כפילות $\left(n-\nu \right)$ בנקודה $x=1$ (הערה: אם $\nu =n$,  אין שורש ב 1).
• $b_{\nu ,n}(x)\geq 0$ עבור $x\in [0,\ 1]$.
• $b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x)$.
• הנגזרת יכולה להיכתב כצירוף של שני פולינומים מדרגה נמוכה יותר:

  $b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).$

• האינטגרל קבוע עבור $n$

  $\int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}};\forall \nu =0,1\dots n$

• אם $n\neq 0$, אז $b_{\nu ,n}(x)$ בעל מקסימום ייחודי מקומי באינטרוול $[0,\ 1]$ ב $x={\frac {\nu }{n}}$. המקסימום הנ"ל בעל הערך:

  $\nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.$

• פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה $n$ יוצרים חלוקת יחידה:

  $\sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.$

• אם לוקחים את האיבר הראשון של $(x+y)^{n}$ כאשר$y=1-x$, ניתן להראות כי

  $\sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx$

• האיבר השני $(x+y)^{n}$ כאשר $y=1-x$ משמש להראות כי 

  $\sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}$

• A פולינום ברנשטיין ניתן להיכתב כקומבינציה לינארית של פולינומים מדרגה גבוהה יותר:

  $b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).$

קירוב פונקציות רציפות

נניח ש ƒ פונקציה רציפה במרווח [0, 1]. נבחן את פולינום ברנשטיין להלן:

$B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).$

ניתן להראות כי:

$\lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)(x)}=f(x)\,$

מתכנס במדה שווה במרווח [0, 1]. זו הצהרה חזקה יותר מאשר ההנחה שהגבול מחזיק עבור כל ערך של x בנפרד; זו תהיה התכנסות נקודתית במקום התכנסות במדה שווה. באופן ספציפי, המילים "במדה שווה" מציינות:

$\lim _{n\to \infty }\sup \left\{\,\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|\,:\,0\leq x\leq 1\,\right\}=0.$

פולינומי ברנשטיין לכן מאפשרים  דרך אחת להוכיח את משפט הקירוב של ויירשטראס שכל פונקציה רציפה עם ערך אמיתי במרווח האמיתי [a, b] ניתנת להערכה במדה שווה על ידי פונקציות פולינום מעל R.

טענה כללית יותר על פונקציה עם נגזרת k^th רציפה היא:

${\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }{\text{ and }}\left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0$

כאשר בנוסף

${\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)$

הוא ערך עצמי של B_n; והפונקציה העצמית המקבילה היא פולינום מדרגה k.

הוכחה

נניח ש-K משתנה מקרי המפוזר כמספר ההצלחות מתוך n ניסויי ברנולי בלתי תלויים, עם הסתברות x של הצלחה בכל ניסוי; במילים אחרות,ל k יש ההתפלגות בינומית עם פרמטרים n ו - x. אז יש לנו את ערך התוחלת E(K/n) = x.

על ידי חוק המספרים הגדולים החלש של תורת ההסתברות,

$\lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0$

לכל δ > 0. יתרה מכך, הקשר אחיד ב x, כפי שניתן להראות מההוכחה בעזרת אי שוויון צ'בישב, אם לוקחים בחשבון שהשונות של   K/n, השווה ל x(1-x)/n, חסומה מלמעלה על ידי 1/(4n) ללא תלות ב x.

מכיוון ש ƒ, הרציפה על תחום סגור וחסום, חייבת להיות ארציפה במדה שווה על התחום, ניתן לנסח את הטענה כי

$\lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0$

באופן אחיד ב - x. אם לוקחים בחשבון ƒ מתוחם (במרווח נתון) ניתן לצפות ל:

$\lim _{n\to \infty }{E\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0$

באופן אחיד ב - x. כאן אפשר לראות כי הסכום המצופה נחלק לשני חלקים. בחלק אחד ההבדל אינו עולה ε; חלק זה יכול לתרום יותר מאשר ε. בעל החלק השני ההבדל עולה על ε, אך אינו עולה על 2M, כאשר M מהווה חסם עליון עבור |(ƒ(x)|; חלק זה אינו יכול לתרום יותר מ-2M פעמים את ההסתברות הקטנה כי ההבדל חורג ε.

לסיכום, ראינו כי הערך המוחלט של ההפרש בין הציפיות לא עולה אף פעם על הצפי של הערך המוחלט של ההבדל, וכן כי  ((E(ƒ(K/n הוא רק פולינום ברנשטיין (B_n(ƒ, x.

ראו לדוגמה.

ראו גם

• עקומת בזייר
• צורת לגראנז'