עקום המומנטים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
עקום המומנטים במרחב התלת-ממדי (ירוק). העקום מתקבל כחיתוך של המשטח עם המשטח (הצירים בתמונה נוטים ב-90 מעלות למקובל)

במתמטיקה, עקום המומנטים הוא עקום אלגברי במרחב האוקלידי ה--ממדי, המוגדר כאוסף הנקודות מהצורה לכל ממשי.

למשל, במישור, עקום המומנטים הוא פרבולה.

כל על-מישור במרחב חותך את עקום המומנטים לכל היותר ב- נקודות (למשל ישר במישור חותך פרבולה בשתי נקודות לכל היותר). תכונה זו שימושית במיוחד בגאומטריה דיסקרטית ובקומבינטוריקה טופולוגית. בענפים אלו משתמשים בעקום המומנטים כדי לקודד מידע גאומטרי-טופולוגי (חיתוך בין גופים מרחביים) ולתרגמו למידע קומבינטורי (מספר נקודות החיתוך).

תכונות

על-מישור במרחב ה--ממדי מוגדר כקבוצה מהצורה

כאשר וקטור כיוון ו- סקלר קבועים.

אם מספר ממשי כך שעקום המומנטים בנקודה חותך את העל-מישור אז מתקיים:

זהו פולינום ממעלה ולכן יש לו לכל היותר פתרונות שונים. מכאן שעקום המומנטים חותך כל על-מישור לכל היותר ב- נקודות.

אם החיתוך בין על-מישור לעקום המומנטים מכיל בדיוק נקודות, אזי הפולינום המתאים ספרבילי (הנגזרת בחיתוך אינה מתאפסת) ועקום המומנטים חוצה בכל נקודת לצד השני של העל-מישור.

עקום המומנטים נותן חסם על מספר החלקים שניתן לחלק גוף -ממדי עם על-מישורים. על-מישורים חותכים את עקום המומנטים לכל היותר ב- נקודות, ולכן מחלקים אותו לכל היותר חלקים.

בעיה ידועה שואלת האם ניתן לחלק כל גוף עם מסה (שלא בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוכו) במרחב ה--ממדי ל- חלקים שווים במסתם באמצעות על-מישורים. בישר ניתן לעשות זאת באמצעות משפט ערך הביניים. במישור ניתן באמצעות כלל הסנדוויץ'. ידוע שהדבר אפשרי במרחב התלת-ממדי והשאלה האם זה אפשרי במרחב הארבע-ממדי עודנה פתוחה. לכל הדבר בלתי-אפשרי, כי ולכן כלל לא ניתן לחלק את עקום המומנטים למספיק חלקים.

ראו גם