פונקציה סתומה

במתמטיקה, פונקציה סתומה היא פונקציה המוגדרת על ידי משוואה, ולא באופן ישיר. לפעמים אפשר לפתור את המשוואה ולהציג את הפונקציה באופן מפורש, אבל במקרים רבים ההצגה המפורשת פחות סימטרית מן המשוואה, ואין בה תועלת. משפט הפונקציות הסתומות מספק תנאים לקיומה של פונקציה המוגדרת באופן סתום על ידי מערכת משוואות, ואף מאפשר לחשב את הנגזרות שלה.

לדוגמה, משוואת המעגל $\ x^{2}+y^{2}=1$ מגדירה שתי פונקציות – $\ y={\sqrt {1-x^{2}}}$ ו- $\ y=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ . את הנגזרת של y לפי x אפשר לחשב ישירות מן המשוואה הקושרת את שני המשתנים: $\ 2x+2yy'=0$ ולכן $\ y'=-{\frac {x}{y}}$ .

דוגמאות

עקומים מפורסמים רבים מוגדרים בצורה הפשוטה ביותר על ידי פונקציות סתומות:

הלמניסקטה של ברנולי

בקואורדינטות קרטזיות: $\ (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$
בקואורדינטות קוטביות: $\ r^{2}=a^{2}\cos 2\theta$

העלה של דקארט

בקואורדינטות קרטזיות: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ x^{3}+y^{3}=3axy}
בקואורדינטות קוטביות: $\ r(\cos ^{3}\theta +\sin ^{3}\theta )=3a\sin \theta \cos \theta$

השבלול של פסקל

בקואורדינטות קרטזיות: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ (x^{2}+y^{2}+ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2})}
בקואורדינטות קוטביות: $\ (r+a\cos \theta )^{2}=b^{2}$

הפרח של גראנדי

הפרח של גראנדי (7 עלים)

בקואורדינטות קרטזיות: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}}
בקואורדינטות קוטביות: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ r=a\sin 2\theta } או בצורה כללית: $\ r=\cos(n\theta )$