פרבולואיד היפרבולי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
פרבולואיד היפרבולי
קובץ:Pengrowth Saddledome.jpg
אצטדיון בעל גג בצורת פרבולואיד היפרבולי
קובץ:Pringles chips.JPG
פרינגלס, דוגמה לפרבולואיד היפרבולי

בגאומטריה, פרבולואיד היפרבולי הוא משטח ישרים הדומה בצורתו לאוכף. אפשר לשרטט אותו במערכת צירים תלת־ממדית, על ידי המשוואה הבאה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{z}{c} = \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2}.}

כאשר . משוואה זאת יוצרת פרבולה: כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 0} - פרבולה כלפי מעלה, וכאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = 0} - פרבולה כלפי מטה.

מאפיינים

ניתן להציג את הפרבולואיד ההיפרבולי גם בצורה הפרמטרית הבאה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \sigma (u,v) = \left(u, v, \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2}\right) }

העקמומיות הגאוסית של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K(u,v) = \frac{-4}{a^2 b^2 \left(1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}\right)^2} }

והעקמומיות הממוצעת של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(u,v) = \frac{-a^2 + b^2 - \frac{4u^2}{a^2} + \frac{4v^2}{b^2}}{a^2 b^2 \sqrt{\left(1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}\right)^3}}. }

אם נסתכל על הפרבולואיד ההיפרבולי מהצורה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}

אם נסובב אותו בכיוון החיובי של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} בזווית של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{4}} , אז על פי כלל יד ימין, נקבל את המשוואה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = \left(\frac{x^2 + y^2}{2}\right) \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) + xy \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)}

ואם a=b, אז אפשר לפשט ולקבל את המשוואה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = \frac{2xy}{a^2}} .

שימושים

צורת האוכף דומה מאד לצורת הפרבולואיד היפרבולי. קיימים מבנים רבים אשר גגותיהם הם בצורה של פרבולואיד היפרבולי, כגון תחנות רכבת, אצטדיונים וכדומה. צורתו של החטיף פרינגלס היא פרבולואיד היפרבולי.

ראו גם