פרבולואיד היפרבולי

פרבולואיד היפרבולי

אצטדיון בעל גג בצורת פרבולואיד היפרבולי

פרינגלס, דוגמה לפרבולואיד היפרבולי

בגאומטריה, פרבולואיד היפרבולי הוא משטח ישרים הדומה בצורתו לאוכף. אפשר לשרטט אותו במערכת צירים תלת־ממדית, על ידי המשוואה הבאה:

${\frac {z}{c}}={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.$

כאשר $c>0$. משוואה זאת יוצרת פרבולה: כאשר $x=0$ - פרבולה כלפי מעלה, וכאשר $y=0$ - פרבולה כלפי מטה.

מאפיינים

ניתן להציג את הפרבולואיד ההיפרבולי גם בצורה הפרמטרית הבאה:

${\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)$

העקמומיות הגאוסית של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:

$K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}$

והעקמומיות הממוצעת של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:

$H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.$

אם נסתכל על הפרבולואיד ההיפרבולי מהצורה:

$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

אם נסובב אותו בכיוון החיובי של $z$ בזווית של ${\frac {\pi }{4}}$, אז על פי כלל יד ימין, נקבל את המשוואה:

$z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)$

ואם a=b, אז אפשר לפשט ולקבל את המשוואה:

$z={\frac {2xy}{a^{2}}}$.

שימושים

צורת האוכף דומה מאד לצורת הפרבולואיד היפרבולי. קיימים מבנים רבים אשר גגותיהם הם בצורה של פרבולואיד היפרבולי, כגון תחנות רכבת, אצטדיונים וכדומה. צורתו של החטיף פרינגלס היא פרבולואיד היפרבולי.

ראו גם

• נקודת אוכף
• אוכף של קוף