אוכף של קוף

אוכף של קוף

במתמטיקה, אוכף של קוף היא משטח תלת ממדי אשר מוגדר על ידי המשוואה

$z=x^{3}-3xy^{2}.\,$

המשטח נקרא כך כיוון שיש לו שלוש "שלוחות", דבר שמתאים להיות כאוכף לקוף כיוון שהקוף צריך אוכף גם לזנבו.

מאפיינים

נקודת האפס (0,0,0) היא הנקודה היחידה בה שיפוע המשטח הוא אפס וגם הנקודה היחידה בה העקמומיות הגאוסיינית של המשטח היא 0. בכל השאר הנקודות העקמומיות היא שלילית. ניתן גם להגדיר את המשטח על ידי הפונקציה המרוכבת התלת ממדית הבאה:

$z(x,y)=\operatorname {Re} (x+iy)^{3}.$

ומכאן ניתן לראות כי:

$z(tx,ty)=t^{3}z(x,y).$

לכל t ≥ 0. מכאן ניתן לראות כי המשטח תלוי ב-z אשר נמצא על מעגל היחידה. אם נסתכל על כל נקודה במעגל היחידה כ-z=e^iφ, עבור φ בין 0 ו-2π, אז ניתן להגדיר את הפונקציה כ- z(φ)=cos 3φ. ניתן להכליל את הרעיון של אוכף של קוף לבעל k שלוחות על ידי הנוסחה z(φ)=cos kφ.

ראו גם

• פרבולואיד היפרבולי
• נקודת אוכף