קבוע קטלן

במתמטיקה, קבוע קטלן (על שם המתמטיקאי אז'ן שרל קטלן) הוא מספר המוגדר על ידי

$\begin{array}{rl}G& =\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots \\ & =0.915965594177219015054603514932384110774\dots \end{array}$

כאשר $\beta$ היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי.

הגדרות נוספות

$\begin{array}{rl}G& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+(xy{)}^2}dxdy\\ G& =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (t)}{1+t^2}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{2t}{\sin (2t)}dt\\ G& =\frac{1}{4}\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{t}{\sin (t)}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\ln (\cot (t))dt\\ G& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan (e^{-t})dt\\ G& =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (t)}{1+t^2}dt\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(t)dt\end{array}$

• כאשר $\mathrm{K}(t)$ מוגדר להיות האינטגרל האליפטי.

$\begin{array}{rl}G& =\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{x}{2})\mathrm{\Gamma }(1-\frac{x}{2})dx=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{0.5}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+y)\mathrm{\Gamma }(1-y)dy\\ G& =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(\frac{1}{2(8n+1{)}^2}-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2})\\ & -\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^2(8n+1{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^5(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^8(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{11}(8n+7{)}^2})\\ G& =\frac{\pi }{8}\log (2+\sqrt{3})+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!(2n+1{)}^2}\end{array}$

שימושים

על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:

$\begin{array}{rl}& {\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G\\ & {\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G\end{array}$

קישורים חיצוניים

• קבוע קטלן, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות העשרוניות של קבוע קטלן באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוע קטלן39417473Q855282