קבוצה חסומה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בטופולוגיה, תת-קבוצה של מרחב מטרי היא קבוצה חסומה אם כל הנקודות שלה נמצאות במרחק הקטן מקבוע ממשי R כלשהו מנקודה כלשהי במרחב; כלומר, הקבוצה מוכלת בכדור. תנאי שקול לזה - הקבוצה חסומה אם המרחק בין כל שתי נקודות בה אינו עולה על קבוע מסוים. באופן דומה מגדירים מרחב חסום כמרחב מטרי שהוא קבוצה חסומה.

למשל בישר הממשי קבוצה חסומה היא קבוצה המוכלת בקטע סופי. במילים אחרות, זו קבוצה שיש מספר שגדול מכל איבריה ומספר שקטן מכל איבריה.

באופן גס, אפשר לחשוב על קבוצה חסומה כקבוצה 'קטנה'. מדדים עדינים יותר לגודל הם קומפקטיות והדרישה שקבוצה תהיה חסומה כליל. כל קבוצה קומפקטית היא חסומה כליל, וכל קבוצה חסומה כליל היא חסומה. לפי משפט היינה-בורל, במרחב אוקלידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^n} , כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית.