קואורדינטות גליליות פרבוליות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם
יצוג הנקודה הקרטזית (2, -1.5, 2) בקואורדינטות גליליות פרבוליות, כאשר הפרבולה הצהובה מייצגת את τ=1, הפרבולה האדומה מייצגת את σ=2 והמישור הכוחל מייצג את z=2.

במתמטיקה, קואורדינטות גליליות פרבוליות היא מערכת קואורדינטות תלת ממדית אשר מאפיינת כל נקודה על ידי מפגש שתי פרבולות ומישור המגדיר את ערך הגובה. הקואורדינטות הללו הם בעצם הכללה של קואורדינטות פרבוליות עבור המרחב האוקלידי .

הגדרה בסיסית

מערכת הקואורדינטות הגליליות פרבוליות (σ, τ, z) מוגדרת על פי מערכת צירים הקרטזית (x, y, z) על ידי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x &= \frac{1}{2} \left( \tau^2 - \sigma^2 \right) \\ y &= \sigma \tau \\ z &= z \end{align}}

כאשר z הוא כמו במערכת צירים קרטזית, σ מגדיר את המקדם של הפרבולה הראשונה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 y = -\frac{x^2}{\sigma^2} + \sigma^2 }

ו-τ מגדיר את הפרבולה השנייה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 y = -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 }

מכאן אפשר להגדיר את המרחק מראשית הצירים כמו במערכת צירים קרטזית:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \left( \sigma^2 + \tau^2 \right) }

במרחק הזה משתמשים לפתרון משוואת המילטון-יעקובי עבור כוח מרכזי בקואורדינטות גליליות פרבוליות.

ניתן גם להגדיר את הקואורדינטות על פי קואורדינטות גליליות, (ρ, φ, z), בדרך הבאה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \rho\cos\varphi &= \sigma \tau\\ \rho\sin\varphi &= \frac{1}{2} \left( \tau^2 - \sigma^2 \right) \\ z &= z \end{align}}

וקטורי יחידה בקואורדינטות גליליות פרבוליות

וקטורי היחידה של קואורדינטות גליליות פרבוליות, מיוצגים על ידי וקטורי יחידה של מערכת צירים קרטזית בדרך הבאה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \boldsymbol{\hat{\sigma}} &= \frac{\tau \hat{\mathbf x} - \sigma \hat{\mathbf y}}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}} \\ \boldsymbol{\hat{\tau}} &= \frac{\sigma \hat{\mathbf x} + \tau \hat{\mathbf y}}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}} \\ \mathbf{\hat{z}} &= \mathbf{\hat{z}} \end{align}}