אנליזה וקטורית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


אַנַלִיזָה וֶקְטוֹרִית היא תחום של המתמטיקה העוסק באנליזה של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי. בדרך כלל, מתמקדת האנליזה הווקטורית ב־ , הוא המרחב האוקלידי התלת־ממדי, שמתאים לתיאור המציאות הפיזיקלית שלנו ולכן שימושי ביותר בפיזיקה. האנליזה הווקטורית פותחה על ידי ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד בסוף המאה ה-19.

פעולות בין וקטורים

כדי להבין את מושגי היסוד באנליזה וקטורית, יש להכיר את הווקטורים ואת הפעולות האפשריות בין הווקטורים עצמם ובין סקלרים. פעולות אלה הן הרחבה של פעולות החיבור והכפל המוגדרות על אברי שדה.

בפרט, יש לדעת את הנושאים מאלגברה לינארית של מרחב וקטורי ומרחב מכפלה פנימית. המרחב האוקלידי (ובפרט ) הוא מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית המוגדר מעל שדה המספרים הממשיים.

וקטורים

וקטור במרחב וקטורי מממד סופי אפשר לכתוב בצורה , כאשר הם הרכיבים או הקואורדינטות של .

במרחב התלת־ממדי הווקטורים מייצגים את וקטורי הבסיס הסטנדרטי, המתאימים למערכת צירים קרטזית. בכתיבה לפי רכיבים, הם שווים לווקטורים בהתאמה.

למבוא יותר אינטואיטיבי על וקטורים במרחב התלת־ממדי, ראו וקטור (פיזיקה).

חיבור

חיבור וקטורים: מחברים וקטורים לפי רכיבים: .

כפל

בניגוד לחיבור, יש מספר סוגים של פעולות כפל המערבים וקטורים:

  1. כפל בסקלר: אם הוא מספר ממשי ו־ וקטור, אז הוא הכפל של בסקלר .
  2. מכפלה סקלרית (Dot product): המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר, המוגדר לפי . מספר זה הוא מכפלת האורך של הווקטור הראשון, האורך של הווקטור השני וקוסינוס הזווית שביניהם. כלומר . המכפלה הסקלרית מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים.
  3. מכפלה וקטורית (Cross product): במרחב התלת־ממדי מוגדרת פעולה נוספת, הנקראת מכפלה וקטורית. המכפלה הווקטורית של שני וקטורים היא וקטור המאונך לשניהם, שאורכו הוא כשטח המקבילית הנוצרת ביניהם, כלומר אורך הווקטור הראשון כפול אורך השני כפול סינוס הזווית שביניהם.

את כללי החישוב של המכפלה הווקטורית קל לזכור באמצעות סימון הדטרמיננטה:

כאשר הן וקטורי היחידה של הצירים X ,Y ,Z בהתאמה.

בעוד ששתי הפעולות הראשונות מוגדרות בכל ממד, ובפרט בממד־1 מתכנסות לכפל הרגיל, המכפלה הווקטורית מוגדרת רק במרחב האוקלידי מממד 3.

הטופולוגיה של המרחב האוקלידי

כדי שנוכל לדבר על אנליזה מתמטית במרחב האוקלידי עלינו להיות מצוידים במושגים של "פונקציות רציפות" ו"נקודות קרובות (באותה סביבה)". לשם כך, עלינו להגדיר על המרחב טופולוגיה.

הטופולוגיה שבדרך כלל מוגדרת על היא הטופולוגיה המטרית המושרית מהמטריקה הבאה שאנו מגדירים על המרחב:

ניתן לראות שמטריקה זו היא בעצם ההכללה של משפט פיתגורס ולכן מהווה הכללה לפונקציית המרחק האוקלידית במישור.

את המטריקה הזאת ניתן להציג באמצעות המכפלה הסקלרית שהגדרנו קודם:

ובכך המרחב שהגדרנו הוא למעשה מרחב מכפלה פנימית המהווה גם מרחב נורמי. יתרה מכך, המרחב מהווה מרחב הילברט (מממד סופי).

עבור מרחב וקטורי נהוג בדרך כלל להסתכל על המרחב הדואלי שלו

זהו מרחב הפונקציונלים הלינאריים על . המרחב הדואלי הוא תמיד מרחב וקטורי, ומאותו ממד כשל . כאשר עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים מצמצמים את המרחב הדואלי לאוסף הפונקציונלים הלינאריים הרציפים בלבד, אם כי עבור ממדים סופיים אין הבדל בין ההגדרות.

מסתבר, שביישומים רבים של האנליזה הפונקציונלית יותר שימושי מ־ . באמצעותו אפשר להגדיר טופולוגיה חלשה על (פשוט קובעים שכל הפונקציונלים הלינאריים עליו נחשבים כרציפים) ונוח יותר לבצע אינטגרציה לפונקציונל מ־ מאשר לווקטור מ־ . כאשר לא עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים, יש חשיבות גדולה להבחנות בין ל־ ולאינטראקציה בין השניים אך עבור מרחב מטרי שני המרחבים איזומטריים וניתן להתאים לכל וקטור ב־ פונקציונל ב־ ולהפך (באופן חח"ע ועל) באמצעות המטריקה. במקרה של מרחב הילברט תכונה זו ידועה כמשפט ההצגה של ריס.

פונקציות ואופרטורים

האנליזה הווקטורית עוסקת, כאמור, בווקטורים שהרכיבים שלהם הם מספרים ממשיים או פונקציות. כדי לפשט את הסימונים והחישובים, מוסיפים למערכת את אופרטורי הגזירה , המסמנים את הנגזרת החלקית לפי המשתנים בהתאמה.

כעת אפשר לבנות וקטורים מכמה סוגים: וקטורים קבועים (כמו ), וקטורים של פונקציות (כמו או ) וגם וקטורים של אופרטורים, כמו . אפשר לבצע פעולות (כמו כפל סקלרי או וקטורי) בין וקטורים מכל הסוגים, כל עוד מפרשים את התוצאות נכון.

באופן כללי יותר, אפשר לחשוב גם על הפונקציות הסקלריות כעל אופרטורים: הפונקציה מתאימה לפעולה של כפל ב־ . כעת אפשר להתייחס לסקלרים מכל הסוגים (פונקציות ואופרטורים דיפרנציאליים) באותו אופן: לכפל (משמאל) בפונקציה יש הפירוש הרגיל של כפל, וכפל משמאל באופרטור יש לחשב על-פי כללי הגזירה. נעיר שבהכפלת סקלרים הסדר אינו חשוב, אבל כאשר מערבים אופרטורים דיפרנציאליים ופונקציות, הסדר חשוב. למשל, הכפלת הפונקציה במשתנה ואחר־כך בנגזרת מחזירה , בעוד שהכפלה בסדר הפוך מחזירה  : ההפרש שווה לפונקציה המקורית. אפשר לסכם אבחנה זו בזהות .

היתרון בגישה זו הוא שהיא מאפשרת טיפול אחיד בפונקציות ובאופרטורים, כפי שנראה בהמשך.

שדות

שדה סקלרי

פונקציה המתאימה לכל נקודה במרחב ערך סקלרי נקראת שדה סקלרי או בהשאלה מפיזיקה (ובייחוד אלקטרומגנטיות): פוטנציאל.

דוגמאות במרחב תלת־ממדי:

  • טמפרטורת המים בנהר – לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאמת הטמפרטורה באותה נקודה (סקלר).
  • פוטנציאל חשמלי.

שדה וקטורי

פונקציה המתאימה לכל נקודה במרחב וקטור (ליתר דיוק, וקטור מהמרחב המשיק באותה נקודה) נקראת שדה וקטורי.

דוגמאות במרחב תלת־ממדי:

  • זרימת מים בנהר – לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאם וקטור שכיוונו ככיוון זרימת המים באותה נקודה וגודלו כמהירות הזרימה.
  • שדה חשמלי.

השדות בדרך כלל אינם לינאריים, ואפילו לא בהכרח רציפים. למרות זאת, באנליזה וקטורית מתעניינים בעיקר בפונקציות חלקות (שיש להן נגזרות מכל סדר), או בעלות מספר סופי בלבד של נקודות סינגולריות.

נגזרות וקטוריות

פרק זה דן במרחב הווקטורי (הפיזיקלי) , שיתואר בקואורדינטות קרטזיות, אלא אם כן מצוין במפורש אחרת.

מבוא

האופרטור הבסיסי במרחב זה הוא אופרטור הגזירה (נקרא גם דֶל), המוגדר:

אפשר לקבל את האופרטורים הדיפרנציאליים היסודיים על ידי פעולות הכפל השונות בהן משתתף אופרטור הגזירה:

  1. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי שרכיביו הם הנגזרות החלקיות של השדה המקורי.
  2. הדיברגנץ של שדה וקטורי הוא שדה סקלרי המודד את קצב השינוי במאונך לצירים.
  3. הרוטור (או curl) של שדה וקטורי תלת־ממדי הוא שדה וקטורי המודד את כיוון השינוי של השדה המקורי.

המכפלה הסקלרית של עם עצמו היא אופרטור חשוב אחר, הנקרא לפלסיאן.

לעיתים נקרא הסימון המשולש של האופרטור בשם "נבלא" או "נבלה", על שום דמיונו לנבל (בתחביר LaTeX הוא מוצג על ידי הפקודה \nabla). בספרים רבים נהוג לכתוב את המשולש ההפוך של הדל בגופן (פונט) מודגש, במקום לרשום חץ קטן למעלה. מטרת שני הסימונים היא להדגיש שמדובר בווקטור.

גרדיאנט

המחשה של גרדיאנט. באיורים שלפנינו, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. שימו לב שהחצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר

גרדיאנט הוא אופרטור המקבל פונקציה סקלרית (פונקציית פוטנציאל) ומחזיר פונקציה וקטורית שרכיביה הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה המקורית.

המשמעות הגאומטרית של הגרדיאנט היא שהוא מחזיר את השינוי בפוטנציאל (השדה הסקלרי) כתוצאה מ"תזוזה" במרחב. מאחר שמדובר במרחב תלת־ממדי, הכיוון משפיע על השינוי של הפונקציה בנוסף לגודל התזוזה. הכיוון של הווקטור שמחזיר הגרדיאנט הוא הכיוון בו השינוי בפונקציה מקסימלי.

הגרדיאנט מוגדר באופן הבא:

באמצעות אופרטור הדל, אפשר לרשום

כלומר הפעלה של האופרטור הווקטורי דל על הפונקציה הסקלרית בצורה של כפל בסקלר, וקבלה של פונקציה וקטורית.

עבור כל שדה סקלרי, אופרטור הגרדיאנט מחזיר שדה וקטורי שנקרא "Gradient Field" ובו החצים מכוונים לכיוון בו הפונקציה עולה וגודלם של החצים מייצג את השיפוע של השדה הסקלרי. הכיוון של הגרדיאנט הוא הכיוון שבו יש שינוי מקסימלי בערך של הפונקציה.

דוגמה פיזיקלית: הפוטנציאל האלקטרוסטטי מסומן , מחוקי האלקטרוסטטיקה ידוע לנו כי כאשר E הוא השדה החשמלי.

נגזרת כיוונית

נגזרת כיוונית או נגזרת מכוונת של שדה סקלרי היא מספר המתאר כמה משתנה הפונקציה כאשר הערך שהיא מקבלת משתנה בגודל אינפיניטסימלי בכיוון מסוים .

כמו כל נגזרת, ההגדרה הפורמלית נעשית באמצעות גבול:

במידה והשדה או הפונקציה דיפרנציאביליים בתחום, אפשר לחשב את הנגזרת הכיוונית בקלות באמצעות הגרדיאנט, על ידי הנוסחה

כאשר מכפלה סקלרית.

דוגמה: נניח .אזי

ואילו הנגזרת הכיוונית שלה כאשר נעים לאורך האלכסון הראשי של קובייה, כלומר , היא

דיברגנץ

הדיברגנץ הוא מעין מדד לכמות השטף של שדה וקטורי היוצא מנקודה כלשהי במרחב.

שטף

יהי שדה וקטורי. אזי השטף של השדה דרך שטח מוגדר על ידי . אם השדה קבוע אזי השטף שווה פשוט ל־ , כאשר וקטור שגודלו כגודל השטח ובכיוונו ניצב לשטח (וקטור נורמלי).

כדי להבין אינטואיטיבית את מושג השטף כדאי להשתמש באנלוגיה מתחום הנוזלים והזרימה ולהסתכל על מרחב בו זורמים מים, ובו יש "ברזים" ו"חורי ניקוז" שיכולים להוסיף או לגרוע מים מהמרחב.

אם מסתכלים על קובייה דמיונית, ומודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים באופן חיובי ואילו מים שנכנסים פנימה באופן שלילי), ומחשבים את מאזן המים הכולל דרך הקוביה, אפשר לדעת מה סה"כ הספיקה של הברזים או חורי הניקוז. אם למשל יש רק ברזים שווים שמפוזרים, הרי מכל קובייה כזו יהיה שטף חיובי, ויהיה אפשר לדעת בעזרת מדידת השטף דרך דפנות הקובייה מה כמות הברזים הכלואה בה. אפשר לחשב גם את צפיפות ה"ברזים" (או "חורי ניקוז", אם השטף שלילי), על ידי חלוקה בנפח הקובייה.

הגדרת הדיברגנץ

הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר – את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז" – בנקודה במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה אינפיניטסימלית בעלת נפח ומחשבים את הגבול כאשר הנפח שלה שואף ל־0, כלומר:

כאשר האינטגרל הוא על המשטח (הסגור) העוטף את הנפח .

בקואורדינטות קרטזיות, אפשר להראות שאת הדיברגנץ אפשר לחשב על ידי מכפלה סקלרית של אופרטור הדל בשדה:

כלומר על ידי מכפלה סקלרית סימבולית של האופרטור הווקטורי דל (משמאל) בפונקציה וקטורית (מימין) שנותן פונקציה סקלרית.

רוטור (Curl)

הרוטור הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת.

כאשר מסמל גודל של משטחונים המחלקים שטח פנים של נפח מסוים, מסמל את העקומים התוחמים כל אחד ממשטחונים אלו ו־ מסמל את וקטורי היחידה המאונכים למשטחונים אלו.

ניתן להראות שבקאורדינטות קרטזיות הרוטור ניתן לחישוב על ידי מכפלה וקטורית של האופרטור דל בשדה:

צורת רישום קלה יותר לזכירה של הנוסחה לעיל היא באמצעות הדטרמיננטה של המטריצה הבאה:

בתנאי שמפתחים לפי השורה הראשונה. יש להדגיש כי זהו סימון שגוי מבחינה מתמטית (שהרי אופרטור גזירה אינו יכול להיות אבר במטריצה).

צורה אחרת היא באמצעות סימן לוי-צ'יוויטה:

כאשר ושומר סימן לכל תמורה ציקלית של האינדקסים, הופך סימן עבור תמורה אי-זוגית של האינדקסים ומקבל את הערך 0 אם יש שני אינדקסים זהים. כמו כן,

הוא סימון מקוצר לנגזרת החלקית (למשל: היא גזירה לפי x כאשר y ו־z מוחזקים כקבועים).

לפלסיאן

הלפלסיאן הכללי מוגדר בקואורדינטות קרטזיות:

כיוון שזהו אופרטור סקלרי הוא יכול לפעול הן על פונקציה סקלרית (על ידי כפל סימבולי רגיל משמאל), והן על פונקציה וקטורית (על ידי כפל בסקלר סימבולי משמאל).

לפלסיאן על פונקציה סקלרית

כאשר הלפלסיאן מופעל על פונקציה סקלרית ניתן להביע אותו גם כ

כלומר הדיברגנץ של הגרדיאנט של הפונקציה.

בקואורדינטות קוטביות:

בקואורדינטות כדוריות:

ביטוי זה נכון רק כשהוא פועל על פונקציה סקלרית.

פונקציה שהלפלסיאן שלה שווה לאפס בקבוצה פתוחה כלשהי נקראת פונקציה הרמונית על קבוצה זו.

אינטגרלים

האינטגרל של שדה סקלרי או שדה וקטורי.

אינטגרל קווי

אינטגרל משטחי

באנליזה וקטורית ישנם שני סוגי אינטגרל משטחי:

  1. אינטגרל משטחי מסוג ראשון:
    אינטגרל של שדה סקלרי:
  2. אינטגרל משטחי מסוג שני:
    אינטגרל של שדה וקטורי:

כאשר הוא וקטור משטח אינפיניטסימלי שגודלו כגודל השטח האיפיניטסימלי וכיווני ניצב למשטח (הווקטור הוא וקטור יחידה נורמל הניצב למשטח.

אינטגרל רב-ממדי

משפטי יסוד באנליזה וקטורית

  • זהויות של נגזרות וקטוריות
  • משפט הגרדיאנט
    אינטגרל מסלולי מנקודה לנקודה של גרדיאנט של פונקציה סקלרית מקיים
  • משפט גאוס (משפט הדיברגנץ):
    האינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי של דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח. כלומר:
  • משפט סטוקס
האינטגרל המסלולי של פונקציה וקטורית על מסלול סגור המהווה שפת משטח שווה לאינטגרל המשטחי של רוטור אותה פונקציה על המשטח.

יישומים

ראו גם

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0