רדיוס עקמומיות

בגאומטריה, רדיוס העקמומיות, R, של עקום בנקודה הוא הרדיוס של המעגל המקרב בצורה הטובה ביותר את העקום בנקודה זו. רדיוס זה הוא ההופכי של העקמומיות בנקודה זו.

במקרה של עקום במרחב, רדיוס העקמומיות הוא האורך של וקטור העקמומיות.

במקרה של עקום במישור, R הוא הערך המוחלט של:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{ds}{d\varphi} = \frac{1}{\kappa},}

כאשר s הוא אורך הקשת מנקודה מסומנת, φ הוא הזווית שיוצר המשיק לעקום ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle\kappa} היא העקמומיות.

אם העקום נתון בקואורדינטות קרטזיות, אזי רדיוס העקמומיות הוא (בהנחה שהעקום גזיר לפחות פעמיים):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R =\left| \frac { \left(1 + y'^{\,2}\right)^{3/2}}{y''}\right|, \qquad\mbox{where}\quad y' = \frac{dy}{dx},\quad y'' = \frac{d^2y}{dx^2},} .

אם העקום נתון באופן פרמטרי על ידי פונקציות (x(t ו-(y(t, אז רדיוס העקמומיות הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = \;\left|\frac{ds}{d\varphi}\right| \;= \;\left|\frac {\big({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\big)^{3/2}}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|, \qquad\mbox{where}\quad \dot{x} = \frac{dx}{dt},\quad\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad \dot{y} = \frac{dy}{dt},\quad\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}.}

מבחינה היוריסטית, תוצאה זאת ניתנת לפרשנות כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = \frac{\left|\mathbf{v}\right|^3}{\left| \mathbf{v} \times \mathbf{ \dot v} \right|}, \qquad\mbox{where}\quad \left| \mathbf{v} \right| = \left| (\dot x, \dot y) \right| = R \frac{d\varphi}{dt}.}

דוגמה

עבור חצי מעגל ברדיוס a בחצי המישור העליון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\sqrt{a^2-x^2}, \quad y'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}, \quad y''=\frac{-a^2}{(a^2-x^2)^{3/2}},\quad R=|-a| =a. }

עבור חצי מעגל ברדיוס a בחצי המישור התחתון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=-\sqrt{a^2-x^2}, \quad R=|a|=a. }

למעגל ברדיוס a יש רדיוס עקמומיות ששווה ל-a.