ערך מוחלט

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


במתמטיקה, ערך מוחלט הוא פונקציה המודדת את גודלם של אברים בשדה. הערך המוחלט של מספר ממשי או מרוכב הוא המרחק שלהם מנקודת האפס. התכונות העיקריות של הערך המוחלט הזה נלקחו כאקסיומות, המאפשרות להגדיר מושג דומה עבור שדות כלליים.

ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים

גרף של פונקציית ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים

בשדה המספרים הממשיים, ערך מוחלט של מספר הוא המרחק בינו לבין האפס על ציר המספרים. כלומר, אם המספר חיובי, הערך המוחלט שלו הוא המספר עצמו, ואם המספר שלילי – ערכו המוחלט יהיה המספר הנגדי לו (שהוא חיובי). ערכו המוחלט של 0 הוא 0.

נהוג לסמן את הערך המוחלט של כך: .

תכונות
  1. , ולכן גם עבור
  2. (אי-שוויון המשולש). נובעת ממנה גרסה נוספת של אי-השוויון:

הערך המוחלט מגדיר קטעים לפי המרחק מנקודת האמצע. בדומה לזה,

(הסימן מסמל "או").

ערך מוחלט בשדה המספרים המרוכבים

בשדה המספרים המרוכבים ההגדרה האינטואיטיבית של הערך המוחלט עדיין תקפה – בוחנים את המרחק בין המספר המרוכב ובין ראשית המישור המרוכב. עבור המספר המרוכב , הערך המוחלט יהיה – נוסחת המרחק האוקלידי. תכונות 1-6 של הערך המוחלט מתקיימות גם עבור מספרים מרוכבים, וכמו כן מתקיים , כאשר הוא הצמוד המרוכב של .

ביחד עם הזווית שיוצר הוקטור של המספר עם ציר , משמשים הערך המוחלט (המסומן ב-) והזווית (המסומנת ב-) כדרך נוספת להגדיר מספר מסוים. על-פי נוסחת אוילר, ניתן להציג את המספר כ- . דרך זו משמשת, למשל, להכפיל, להעלות בחזקה ולהוציא שורש בקלות.

הגדרה כללית של ערך מוחלט

אם הוא שדה, ערך מוחלט הוא פונקציה , כאשר שדה המספרים הממשיים, המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות:

  • אם ורק אם
  • קיים קבוע ממשי עבורו לכל

דרישות אלה מתקיימות כמובן בערך המוחלט המקובל של מספרים ממשיים או מרוכבים (עם הקבוע ).

ערך מוחלט מגדיר על השדה טופולוגית האוסדורף, שבה הסדרה מתכנסת ל- אם ורק אם בטופולוגיה הסטנדרטית של המספרים הממשיים (כאשר הוא הערך המוחלט הסטנדרטי על המספרים הממשיים). שני ערכים מוחלטים הם שקולים אם הם מגדירים את אותה טופולוגיה. מחלקת השקילות נקראת לפעמים מחלק ראשוני של השדה. כל חזקה חיובית קבועה של ערך מוחלט היא ערך מוחלט, המגדיר את אותה טופולוגיה, ושני ערכים המגדירים את אותה טופולוגיה מתקבלים זה מזה על ידי העלאה בחזקה חיובית קבועה. כאשר , התנאי הרביעי שקול לאי-שוויון המשולש,

ולכל ערך מוחלט יש חזקה המקיימת תנאי זה. מכאן שהטופולוגיה שערך מוחלט מגדיר היא מטריזבילית. עם זאת, אי-שוויון המשולש אינו נשמר תחת העלאה בחזקה של הערך המוחלט (למשל, חזקה גדולה מ-1 של הערך המוחלט הממשי הסטנדרטי אינה מקיימת את אי-שוויון המשולש). ערך מוחלט המקיים תנאי חזק יותר – , נקרא אולטרה-מטרי או לא-ארכימדי; אחרת הוא נקרא ערך מוחלט ארכימדי. כל חזקה של ערך מוחלט לא-ארכימדי היא ערך מוחלט לא-ארכימדי.

בגלל אי-השוויון , הערך המוחלט הוא תמיד פונקציה רציפה מהשדה (ביחס לטופולוגיה המטרית) אל המספרים הממשיים (עם הטופולוגיה הרגילה). ערך מוחלט עם הוא פונקציה רציפה במידה שווה.

ערך מוחלט המוגדר על שדה אפשר להמשיך לכל הרחבה אלגברית של השדה[1]. פונקציה המוגדרת על תחום שלמות D ומקיימת את ארבע האקסיומות, אפשר להרחיב לערך מוחלט המוגדר על שדה השברים של D, באמצעות הנוסחה .

משפט הקירוב

ערכים מוחלטים שאינם שקולים הם שונים מאד זה מזה: יהיו ערכים מוחלטים שאינם שקולים על שדה . לכל ולכל קיים עבורו . במלים אחרות, השיכון האלכסוני של השדה במרחב המכפלה (כאשר ברכיב ה- מוגדרת הטופולוגיה המושרית על-ידי הערך המוחלט ה-) הוא צפוף.

עבור שדה מספרים הרציונליים עם קבוצה סופית של ערכים מוחלטים p-אדיים (לראשוניים שונים p), משפט הקירוב אינו אלא משפט השאריות הסיני.

ערך מוחלט p-אדי

על שדה המספרים ה-p-אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית (בהנחה ש-), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי ומטריקה (), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-p-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא מרחב קומפקטי מקומית.

הערך המוחלט ה-p-אדי הוא ערך מוחלט לא-ארכימדי, ומקיים דרישה חזקה יותר מאי-שוויון המשולש, שהיא

תכונה זו מגדירה אמנם טופולוגיה מטרית, אך מספר תכונות בה שונות מהטופולוגיה המטרית הרגילה, למשל: טור אינסופי מתכנס במטריקה ה-p-אדית אם ורק אם האבר הכללי שואף לאפס

(כלומר: מתכנס אם ורק אם )

בעוד שבמטריקה הרגילה הטור ההרמוני מתבדר, אף על פי ש- שואף ל-0.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. Algebraic number theory, E. Weiss, משפט 2-4-1