ריבוע קסם-על
ריבוע קסם-על או ריבוע קסם מושלם הוא ריבוע קסם בגודל 4 על 4, שבו כל שורה, כל עמודה וכל אלכסון, וכן רביעיית המספרים בפינות, הרביעייה הפנימית, וארבעת רבעוני הריבוע, מסתכמים כולם לאותו מספר[1]. ריבועי קסם-על ידועים במתמטיקה[2] ובאמנות[3] עוד מזמנים עברו, וזכו לעדנה במאה ה-20 באדריכלות[4] ובתחום שעשועי המתמטיקה[5].
קוסמים משתמשים בריבוע קסם-על לתעלול מרשים. במסגרת התעלול, מבקש המבצע מאחד האנשים בקהל להציע לו מספר יעד, גיל השומע למשל, ובונה מול הקהל במהירות ריבוע קסם-על המקיים שסכומו הוא המספר המבוקש. קוסם מיומן עשוי להגדיל את רושם התעלול על ידי בקשה מאחד השומעים לנחש מספר יעד, התבוננות בשומע תוך כדי דו-שיח אתו, ניחוש מספר היעד ובנית ריבוע קסם-על עבור מספר היעד[6].
תעלול הקוסמים
הדגמות של התעלול באנגלית ובעברית, מראות ביצוע של התעלול[7][8]. התעלול מתבצע בארבעה צעדים, כפי שמראים הציורים 1–4. ציור 1 מראה ריבוע קסם על עבור מספר יעד 30 אשר כולל את המספרים 0–15. המבצע משנן את הריבוע בעל פה. ציור 2 מדגיש ארבע מספרי מפתח בריבוע הקסם של ציור 1. בכל אחת מהרביעיות המסתכמות במספר היעד 30 יש מספר מפתח אחד ולא יותר. נניח כי המבצע רוצה להציג ריבוע קסם-על עם מספר יעד 49. ציור 3 מדגים את החישוב הדרוש. כך, מתקבל ריבוע קסם-על עבור מספר יעד 49 כמודגם בציור 4[9].
יצירת ריבוע קסם-על
ריבוע לטיני הוא ריבוע של n שורות ו-n עמודות, שבכל שורה ובכל עמודה שלו כתובים אותם n סמלים שונים, בלי חזרות. לדוגמה:
2 0 3 1
0 1 2 3
1 3 0 2
3 2 1 0
ריבוע גרקו-לטיני (אנ') הוא ריבוע עם שתי מערכות סימנים (אלפבית יווני ולטיני, לדוגמה) שכל אחת מהן מסודרת כריבוע לטיני, ואין חזרה בכל הריבוע על זוג סימנים משתי מערכות הסימנים. ריבוע גרקו-לטיני מודגם בציור 5 שבו מערכת סימנים אחת היא של צבעים שונים ומערכת הסימנים השנייה היא של צורות גאומטריות שונות. הדוגמה של ציור 5 היא של ריבוע גרקו-לטיני מיוחד שבו גם האלכסונים מסודרים כך שאין חזרה על סימנים. אפשר להוכיח בקלות כי בריבוע גרקו-לטיני 4X4 קיום הדרישה על ידי האלכסונים גורם לכך שגם ארבע הפינות, ריבוע 2X2 האמצעי וארבעת הרבעונים מקיימים את הדרישה שאין חזרה על סימנים.
אוילר הציע בניית ריבוע קסם תוך שימוש בריבוע גרקו-לטיני. לשם כך, יש להתאים כל סימן למספר, כפי שמראה ציור 6. כל אתר בריבוע, כולל סימן אחד ממערכת הסימנים הראשונה, סימן שני ממערכת הסימנים השנייה, ומספר שהוא הסכום של המספרים המותאמים לשני הסימנים,
כאשר מסדרים את הריבוע כריבוע גרקו-לטיני מיוחד, מתקבל ריבוע גרקו-לטיני עם ריבוע קסם-על של מספרים[10]. בדוגמה של ציור 7 מספר היעד הוא 20.
הערות שוליים
- ^ A. T. Benjamin, E.. J. Brown, Challenging Magic Squares for Magicians, The college Mathematics Journal 45, 2014
- ^ מאמר על המתמטיקה במאה ה-16 עם הרחבה על ריבוי קסם-על, באתר The Story of Mathematics
- ^ יצירה של דירר מהמאה ה-16 הכוללת ריבוע קסם על
- ^ מאמר על שיבוץ ריבוע קסם בקתדרלת סגרדה פמיליה בברצלונה, באתר recmath
- ^ C. Dudley Langford, Super Magic Squares, The mathematical gazette 40, 1956, עמ' 86-97
- ^ פרוספקט של מוצר לקוסמים על בסיס ריבוע קסם-על, באתר Penguin Magic
- ^ הדגמת ריבוע קסם-על באנגלית, באתר youtube
- ^ הדגמת תעלול ריבוע קסם-על בעברית, באתר youtube
- ^
הדגמה, סרטון באתר יוטיוב
- ^ קיט לבניה עצמית של ריבוע קסם-על, באתר youtube
