רצועה (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, רצועה (הנקראת גם חבורה למחצה אידמפוטנטית) היא חבורה למחצה שבה כל איבר הוא אידמפוטנט (במילים אחרות, שווה לריבוע שלו, או נוסחתית: x*x=x). רצועות נחקרו לראשונה ונקראו על שם קליפורד (1954). הסריג של מגווני הרצועות תואר באופן עצמאי בתחילת שנות ה-70 על ידי ביריוקוב, פנהמור וגרהרד. סריגים למחצה, רצועות אפס שמאליות, רצועות אפס ימניות, רצועות מלבניות, רצועות נורמליות, רצועות רגולריות-שמאליות, רצועות רגולריות-ימניות ורצועות רגולריות, הן תת-מחלקות ספציפיות של רצועות השוכנות בתחתית הסריג זה, אשר מעוררות עניין מיוחד והן מתוארות בקצרה להלן.

סוגים של רצועות

משפחה של רצועות יוצרת מגוון אם היא סגורה תחת תת-חבורות-למחצה, תמונות הומומורפיות ומכפלה ישרה (לאו דווקא סופית). בירקהוף הוכיח שכל מגוון של חבורות למחצה מוגדר על ידי זהויות. משפט: כל מגוון של רצועות יכול להיות מוגדר לפי זהות אחת ויחידה.

סריג למחצה

סריגים למחצה הם בדיוק רצועות קומוטטיביות. כלומר, אלו הן רצועות המקיימות את הזהות:

• xy = yx לכל x,y.

רצועות משרות יחס סדר שניתן להגדיר כ- $x\leq y$ אם ורק אם $xy=x$. דרישת הקומוטטיביות מרמזת שקדם סדר זה הופך לסדר חלקי בסריג למחצה.

רצועות אפס

רצועת אפס-שמאלית היא רצועה המקיימת את הזהות:

• xy = x,

מכך שללוח הכפל שלה שורות קבועות.

באופן סימטרי, רצועת אפס-ימנית היא רצועה המקיימת את הזהות:

• xy = y,

כך שללוח הכפל שלה עמודות קבועות.

רצועות מלבניות

רצועה מלבנית היא רצועה S המקיימת את הזהויות:

1. xyx=x לכל x,y ב-S, או באופן שקול:
2. xyz=xz לכל x,y,z ב-S.

חבורה למחצה המקיימת את הזהות הראשונה, xyx=x, היא א-קומוטטיבית (כלומר מ-ab=ba נובע a=b). רצועה מקיימת את הזהות xyx=x אם ורק אם היא א-קומוטטיבית.

בכל מאגמה גמישה, $(aa)a=a(aa)$, לכן כל איבר מתחלף עם הריבוע שלו. לכן, בכל חבורה למחצה שאינה קומוטטיבית בשום מקום, כל איבר הוא אידמפוטנט ולכן כל חבורה למחצה שאינה קומוטטיבית בשום מקום היא למעשה רצועה שאינה קומוטטיבית בשום מקום.

לכן, בכל חבורה למחצה שאינה קומוטטיבית בשום מקום:

$x(xyx)=(xx)yx=xyx=xy(xx)=(xyx)x$

כלומר, $x$ מתחלף עם $xyx$, ולכן $xyx=x$ - הזהות המאפיינת הראשונה.

בכל חבורה למחצה הזהות הראשונה מרמזת על אידמפוטנציה כיוון ש- $a=aaa$. ובכן, $aa=aaaa=a(aa)a=a$ ולכן כל איבר אידמפטוטני, כלומר זאת אכן רצועה. לאחר מכן:

בכל חבורה למחצה, הזהות הראשונה גוררת את הזהות השנייה כי xyz = xy(zxz) = (x(yz)x)z = xz.

האידמפוטנטים של חבורה למחצה מלבנית יוצרים תת-רצועה שהיא רצועה מלבנית, אבל לחבורה למחצה מלבנית עשויים להיות איברים שאינם אידמפוטנטיים. ברצועה, הזהות השנייה גוררת את הראשונה, אבל זה דורש אידמפוטנציה. קיימות חבורות למחצה המספקות את הזהות השנייה אך אינן רצועות, ולכן אינן מספקות את הראשונה.

ישנו סיווג מלא של רצועות מלבניות. בהינתן קבוצות שרירותיות I ו- J ניתן להגדיר פעולת מאגמה על I × J לפי הגדרה

$(i,j)\cdot (k,\ell )=(i,\ell )\,$

פעולה זו היא אסוציאטיבית מכיוון שלכל שלושה זוגות (i_x, j_x), (i_y, j_y), (i_z, j_z) יש לנו

$((i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y}))\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})$ וכמו כן

$(i_{x},j_{x})\cdot ((i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z}))=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})$

שתי זהויות אלו: (xy)z = xz וגם x(yz) = xz

ביחד, שקולות לזהות המאפיינת השנייה לעיל.

שתיהן ביחד גוררות גם אסוציאטיביות (xy)z =x(yz). כל מאגמה שמקיימת את שתי הזהויות המלבניות והאידמפוטנציה היא בעצם רצועה מלבנית. אז כל מאגמה שעונה על שתי הזהויות האופייניות (ארבע זהויות מאגמה נפרדות) היא רצועה, ולכן רצועה מלבנית.

פעולת המאגמה שהוגדרה לעיל היא רצועה מלבנית מכיוון שלכל זוג (i, j) יש לנו (i, j) · (i, j) = (i, j).. לכן כל איבר הוא אידמפוטנט, והזהות האופיינית הראשונה נובעת מהשנייה יחד עם האידמפוטנציה.

אבל מאגמה שמקיימת רק את הזהות המאפיינת הראשונה ואידמפוטנציה לא צריכה להיות אסוציאטיבית, ולכן הזהות המאפיינת השנייה נובעת מהראשונה רק בחבורה למחצה.

כל רצועה מלבנית היא איזומורפית לאחת מהצורות לעיל (או ש- $S$ ריקה, או שנבחר איבר כלשהו $e\in S$, ואז ($s\mapsto (se,es)$ ) מגדיר איזומורפיזם $S\cong Se\times eS$). רצועות אפס שמאליות ורצועות אפס ימניות הן רצועות מלבניות, ולמעשה כל רצועה מלבנית היא איזומורפית למכפלה ישרה של רצועת אפס שמאלית ורצועת אפס ימנית. כל הרצועות המלבניות מסדר ראשוני (עוצמת הקבוצה ראשונית) הן רצועות אפס, שמאלית או ימנית. אומרים שרצועה מלבנית היא מלבנית טהורה אם היא אינה רצועת אפס שמאלית או רצועת אפס ימנית.

רצועות נורמליות

רצועה נורמלית היא רצועה S המקיימת:

• zxyz = zyxz לכל x,y,z ב-S.

ניתן לומר גם שרצועה נורמלית היא רצועה S המקיימת:

• axyb = ayxb לכל a,b,x,y ב-S.

זוהי אותה משוואה המשמשת להגדרת מאגמה מדיאלית, ולכן ניתן לקרוא לרצועה נורמלית גם רצועה מדיאלית, ורצועות נורמליות הן דוגמאות למאגמות מדיאליות.

רצועות רגולריות שמאליות

רצועה רגולרית-שמאלית היא רצועה S המקיימת:

• xyx = xy לכל x,y ב-S.

אם ניקח חבורה למחצה, ונגדיר a ≤ b אם ורק אם ab = b, נקבל סדר חלקי אם ורק אם חבורה למחצה זו היא רצועה רגולרית-שמאלית. רצועות רגולריות-שמאליות מופיעות באופן טבעי במחקר של פוסטים.

רצועות רגולריות ימניות

רצועה רגולרית-ימנית היא רצועה המקיימת:

• xyx = yx לכל x,y ב-S.

כל רצועה רגולרית-ימנית הופכת לרצועה רגולרית-שמאלית באמצעות מכפלה הפוכה (שחלוף של טבלת הכפל). ואכן, לכל מגוון של רצועות יש גרסה 'הפוכה'; זה מוביל לסימטריה שיקופית, באיור למטה.

רצועות רגולריות

רצועה רגולרית היא רצועה S המקיימת:

• zxzyz = zxyz לכל x,y,z ב-S.

סריג של מגוונים

סריג של מגוונים של רצועות רגולריות. (לפי הזהות הקובעת אותן).

כשהם מסודרים חלקית על ידי הכלה, רצועות יוצרות באופן טבעי סריג, שבו המפגש (meet) של שני מגוונים הוא החיתוך ביניהם והחיבור (join) של שני מגוונים הוא המגוון הקטן ביותר שמכיל את שניהם. המבנה המלא של הסריג הזה ידוע; בפרט, הוא בן מנייה, שלם ודיסטריבוטיבי. תת-הסריג המורכב מ-13 המגוונים של להקות רגילות מוצג באיור. המגוונים של רצועות אפס שמאליות, סריגים למחצה ורצועות אפס ימניות הן שלושת האטומים (איברים מינימליים לא טריוויאליים) של סריג זה.

כל מגוון של רצועות המוצג באיור מוגדר על ידי זהות אחת בלבד. זה לא צירוף מקרים: לפי המשפט שצוטט לעיל, כל מגוון של רצועות יכול להיות מוגדר על ידי זהות אחת.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34762974רצועה (מבנה אלגברי)