שדה סדור

שדה סדור (נקרא גם "שדה ממשי פורמלית") הוא שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} , שמוגדר עליו יחס סדר מלא המכבד את פעולות השדה (ראו להלן).

המספרים המוכרים לנו מסודרים באופן טבעי, כשחושבים על מספר (ממשי) כעל אורך של קטע: אם קטע אחד מכיל קטע אחר, האורך של הקטע הראשון גדול יותר. המושג שדה סדור נועד ללכוד את הסדר הטבעי הזה ולהכליל אותו, כדי שאפשר יהיה לנצל את הרעיונות שקשורים ביחס הסדר בחקירת שדות אחרים.

הגדרה

הסדר המוגדר על השדה נדרש לכבד את פעולות החיבור והכפל:

1. איזוטוניות ביחס לסכום: לכל $x,y,z\in F$, אם $x\leq y$ אזי $x+z\leq y+z$
2. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y,z \in F} , אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \le x} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y \le z} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xy \le xz} .

(מהאקסיומות נובע למשל שכל מספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2} הוא חיובי, ובפרט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \le 1} ).

לחלופין, אפשר לדרוש שאוסף המספרים החיוביים (אלו הגדולים מאיבר האפס) יהיה סגור לחיבור ולכפל, ושאוסף זה יגדיר את הסדר במובן הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x<y} אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y-x} חיובי. במקום להתמקד בסדר עצמו, אפשר לבחון את קבוצת האיברים החיוביים: תת-קבוצה P של שדה נקראת סדר (ordering), אם היא סגורה לחיבור ולכפל, ולכל איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a\neq 0} בשדה מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a\in P} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -a\in P} . כל קבוצה כזו מגדירה יחס סדר. המאפיין של שדה סדור חייב להיות 0. מכך, מספר האיברים בשדה שכזה חייב להיות אינסופי.

דוגמאות

הדוגמאות החשובות ביותר לשדות סדורים הן השדה הרציונלי והשדה הממשי. בשני המקרים הסדר המוכר הוא הסדר היחיד האפשרי. את השדה המרוכב לא ניתן לסדר, משום ש $\ -1=i^{2}$ הוא ריבוע בשדה הזה. אף שדה מקומי לא ארכימדי אינו ניתן לסידור.

ישנם שדות שאפשר לסדר בכמה דרכים. למשל, בשדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt{2}} (הנוצר על ידי הוספת השורש הריבועי של 2 לשדה המספרים הרציונליים), אפשר לקבוע ש-

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b\sqrt{2}>0} כאשר a,b שניהם חיוביים, או a חיובי ו- b שלילי וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2b^2<a^2} , או a שלילי ו- b חיובי וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^2<2b^2} ; או
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b\sqrt{2}>0} כאשר a,b שניהם חיוביים, או a חיובי ו- b שלילי וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2b^2>a^2} , או a שלילי ו- b חיובי וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^2>2b^2} .

באופן כללי מספר הדרכים השונות לסדר שדה מספרים K שווה למספר הדרכים לשכן אותו בשדה המספרים הממשיים, ומספר זה קטן או שווה למימד של K.

דוגמה נוספת: בשדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}((x))} של טורי לורן אפשר לקבוע שאיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{n=-N}^{\infty}a_nx^n} הוא חיובי אם ורק אם הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ 0<a_{-N}} . תחת הסדר הזה x הוא איבר חיובי, הקטן מכל מספר ממשי חיובי.

סדר וריבועים

שדה שאפשר להגדיר עליו יחס סדר, באופן שיהפוך אותו לשדה סדור, נקרא שדה ניתן לסידור. שדה כזה מוכרח להיות בעל מאפיין 0. משפט ארטין-שרייר מאפיין את השדות הניתנים לסידור על-פי האריתמטיקה של השדה: F ניתן לסידור אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)} אינו סכום של ריבועים בשדה (ההוכחה לפי הלמה של צורן על אוסף הסידורים החלקיים); במילים אחרות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ s(F)=\infty} , כאשר s הוא הרמה של השדה. לדוגמה, שדות שבהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)} הוא ריבוע, לא ניתן לסדר - משום שאז יתקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0=1+(-1)>0+0=0} , סתירה. ממשפט ארטין-שרייר נובע כי איבר של שדה ניתן לסידור הוא חיובי בכל יחס סדר אפשרי של השדה, אם ורק אם אותו איבר הוא סכום של ריבועים. איבר כזה נקרא לפעמים חיובי לחלוטין.

לפי משפט ידוע של Springer, אם F סדור, אז כל שדה הרחבה K/F מממד אי-זוגי, ניתן גם הוא לסידור (מספר הדרכים להרחיב את הסדר של F אינו עולה על הממד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [K:F]} ).

שדה נקרא פיתגורי אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע. לא כל שדה כזה ניתן לסידור (לדוגמה, בשדה המספרים המרוכבים כל מספר הוא ריבוע). אלו הם השדות שמספר פיתגורס שלהם שווה ל-1. שדה פיתגורי סדור, שכל הרחבה אלגברית סדורה שלו היא פיתגורית, נקרא שדה פיתגורי תורשתית. ידוע ש-F שדה כזה אם ורק אם מספר פיתגורס של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(x)} (שדה הפונקציות במשתנה אחד מעל F) שווה ל-2.

שדה סדור הוא אוקלידי, אם כל איבר חיובי שלו הוא ריבוע. כל שדה אוקלידי הוא פיתגורי (וסדור), משום שסכום של ריבועים הוא תמיד חיובי. לעומת זאת, לא כל שדה פיתגורי סדור הוא אוקלידי. אם אפשר לסדר שדה באופן שהוא יעשה אוקלידי, אז יש רק דרך אחת לסדר אותו (משום שריבוע מוכרח להיות חיובי בכל סדר אפשרי).

ארכימדיות ואוניברסליות

כל שדה סדור מכיל עותק של המספרים הטבעיים. אם כל איבר של השדה קטן מאיזשהו מספר טבעי, זהו שדה ארכימדי, ואז המספרים הרציונליים צפופים בו.

יהי F שדה סדור. שני איברים חיוביים x,y הם ברי-השוואה אם קיים n כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{n}<x/y<n} . קבוצת מחלקות השקילות מהווה חבורה סדורה ביחס לכפל, ונקראת חבורת המחלקות הארכימדיות של השדה, וגם הטיפוס שלו. השדה הוא ארכימדי אם ורק אם הוא מטיפוס טריוויאלי. הרחבת שדות E/F היא הרחבה ארכימדית אם כל איבר של E בר-השוואה לאיבר של F. השדה סגור ארכימדית אם אין לו הרחבות ארכימדיות.

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma} חבורה אבלית סדורה ליניארית. אם F שדה כלשהו, מסמנים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(\!(\Gamma)\!)} את הסכומים הפורמליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{\gamma \in \Gamma} \alpha_\gamma \gamma} שיש להם תומך סדור היטב, עם החיבור והכפל הטבעיים. זהו שדה, הקרוי שדה האן מוכלל (על-שם Hans Hahn). אם F סדור, יש סדר טבעי ההופך גם את $\ F(\!(\Gamma )\!)$ לשדה סדור. משפט השלמות של האן קובע שלכל חבורה סדורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma} , השדה הסדור היחיד מטיפוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma} שהוא סגור ארכימדית הוא השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\mathbb{R}}(\!(\Gamma)\!)} . זוהי הכללה של העובדה ששדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור הארכימדי היחיד שהוא סגור ארכימדית. משפט השיכון של האן קובע שכל שדה סדור מטיפוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma} אפשר לשכן כתת-שדה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\mathbb{R}}(\!(\Gamma)\!)} כך שההרחבה ארכימדית.

שדה המספרים הסוריאליסטיים הוא שדה סדור (שאינו קבוצה אלא מחלקה), וכל שדה סדור ניתן לשיכון בתוכו באופן יחיד.

סדר וטופולוגיה

בשדה ניתן לסידור, מוגדרת טופולוגיית Harrison על אוסף הסדרים האפשריים, שהבסיס שלה כולל את הקבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_a = \{P \,|\, a\in P\}} לכל a שאינו אפס. הטופולוגיה הזו היא תמיד קומפקטית והאוסדורף מממד אפס (כלומר, יש לה בסיס של קבוצות שהן פתוחות וסגורות). כל מרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף ובעל ממד אפס הומיאומורפי למרחב הסדרים של שדה מתאים.

טיפוסים של שדות סדורים

שדה סדור נקרא סגור ממשית (real closed), אם אין לו הרחבה אלגברית סדורה (לדוגמה, שדה המספרים הממשיים הוא סגור ממשית). כל שדה כזה הוא בוודאי אוקלידי.

שדה סדור הוא ארכימדי אם היחס בין כל שני איברים חיוביים קטן מאיזשהו מספר שלם. כל שדה סדור ארכימדי ניתן לשיכון בשדה המספרים הממשיים. לכל שדה סדור F, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{a\in F \,|\, \exists n \in \mathbb{N}: a<n\}} הוא תת-חוג מקומי של F, שהתמונה שלו היא שדה ארכימדי.

סגוֹרים

כל שדה סדור F מוכל בשלושה שדות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F \subseteq F_{pyth} \subseteq F_{e} \subseteq \bar{F}} , שכולם אלגבריים מעל F, והם מקיימים את התכונות הבאות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \bar{F}} סגור ממשית (שלא כמו בניית הסגור האלגברי, בנייה זו אינה זקוקה ללמה של צורן); $\ F_{e}$ הוא שדה אוקלידי, שאפשר לקבל כשרשרת של הרחבות, שבכל אחת מהן מוסיפים לשדה הקודם את כל השורשים של איברים חיוביים; ואילו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_{pyth}} הוא שדה פיתגורי, המתקבל כחיתוך של כל תת-השדות הפיתגוריים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \bar{F}} המכילים את F.

מקורות

• "Summary on non-Archimedean valued fields", Angel Barrıa Comicheo and Khodr Shamseddine, Contemporary Mathematics 704, (2018).

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שדה סדור30935849Q909412