שדה פיצול

בתורת השדות המתמטית, שדה פיצול של פולינום $\ f$ מעל השדה $\ F$, הוא שדה $E$ המרחיב את $F$ בו הפולינום מתפצל לגורמים לינאריים, בצורה $\ f(x)=\lambda (x-a_{1})\cdots (x-a_{n})$ כאשר $a_{1},\dots ,a_{n}\in E$ ו-$\lambda \in F$, ושאין לו תת-שדות (אמיתיים) המקיימים את אותה דרישה. לכל פולינום קיים שדה פיצול יחיד, עד-כדי איזומורפיזם.

אינטואיטיבית, פולינום שאפשר לפרק לגורמים לינאריים אינו "מעניין" - הוא בסך-הכל מהווה דרך להחזיק יחד את קבוצת השורשים שלו. פולינום שיש לו גורמים אי-פריקים שאינם לינאריים מאפשר לבנות הרחבות לא טריוויאליות של השדה. במובן זה, פיצול הפולינום לגורמים לינאריים (בדרך של הרחבת שדה המקדמים) "הורסת" את המידע המעניין בפולינום, ושדה פיצול הוא שדה קטן ביותר המגשים תוכנית כזו.

המונח "שדה פיצול" משמש, בהשאלה, גם בתחומים אחרים של האלגברה המודרנית, לציון שדה המרסק את המבנה האריתמטי העדין של אובייקט, ומאפשר ללמוד אותו בכלים גאומטריים. לדוגמה, קיימים שדות פיצול של טורוס בחבורה אלגברית, של הצגה של חבורה סופית, של אלגברה פשוטה, ועוד.

שדה פיצול של פולינום

נתון פולינום f, המוגדר מעל שדה בסיס F. שדה הרחבה $\ L/F$ מפצל את הפולינום, אם אפשר לפרק את f לגורמים לינאריים מעל L, כאמור במבוא. שדה מפצל מינימלי נקרא "שדה פיצול". כל שדה מפצל מכיל שדה פיצול: אם $\ f(x)=\lambda (x-a_{1})\cdots (x-a_{n})$ הוא פיצול של הפולינום מעל L, אז גם $\ K=F[a_{1},\dots ,a_{n}]$ מפצל, והוא מינימלי מכיוון שהפיצול לגורמים הוא יחיד.

כדי להוכיח שקיימים שדות מפצלים, אפשר להרחיב את F צעד-אחר-צעד, כשבכל פעם מספחים לשדה שורש של גורם אי-פריק של הפולינום (ומפרקים את הפולינום, מחדש, מעל השדה שהתקבל). באופן הזה אפשר להוכיח שלכל פולינום קיים שדה פיצול; שהממד של שדה הפיצול אינו עולה על $\ n!$, כאשר $\ n=\deg(f)$ היא מעלת הפולינום; ששדה הפיצול K הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם מעל F; ושממדו שווה ל- $\ |\operatorname {Gal} (K/F)|$, כאשר $\ \operatorname {Gal} (K/F)$ היא חבורת גלואה של ההרחבה, כאשר הפולינום ספרבילי.

כל שדה פיצול הוא הרחבה נורמלית של שדה הבסיס.

שדה פיצול של אלגברה פשוטה מרכזית

אם A אלגברה פשוטה מממד סופי מעל המרכז שלה, F, אז לפי משפט ודרברן-ארטין, היא איזומורפית לאלגברה של מטריצות מעל אלגברת חילוק D, שמרכזה F. אומרים שהאלגברה מפוצלת, אם D=F. שדה הרחבה K/F הוא שדה פיצול, אם המכפלה הטנזורית $\ A\otimes _{F}K$ (שגם היא תמיד אלגברה פשוטה) היא אלגברת מטריצות (מעל K). כאן אין דרישה של מינימליות. לדוגמה, הסגור האלגברי של F הוא שדה פיצול לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל F.

כל תת-שדה מקסימלי של A מהווה שדה פיצול שלה; ולהיפך: כל שדה פיצול מממד סופי של A, מהווה תת-שדה מקסימלי של איזושהי אלגברה השקולה ל- A בחבורת בראוור של F.

ראו גם

• הרחבת גלואה
• אלגברה פשוטה