שיטת בורדה
שיטת בורדה (borda's method) היא שיטת בחירות שבה נבחר המועמד שסך מספר המועמדים המדורגים תחתיו מכל אחד מהבוחרים - הוא הגבוה ביותר.
הגדרה
תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A = \{1,2,...,i,...,m\}\end{align}} קבוצה סופית של מועמדים (או אפשרויות) ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}N = \{1,2,...,j,...,n\}\end{align}} קבוצה סופית של בוחרים.
נניח שכל בוחר מדרג את המועמדים מהמועדף יותר למועדף פחות, והוא אינו אדיש בין מועמדים (כלומר יש לו יחס העדפות חזק על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} A\end{align}} ).
מועמד מקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}k\end{align}} נקודות מבוחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}j\end{align}} , אם בוחר זה דירג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}k\end{align}} מועמדים מתחת למועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}i\end{align}} . נקודות אלו נקראות גם נקודות בורדה.
(במילים אחרות: מספר הנקודות שמועמד כלשהו מקבל מבוחר מסוים, שווה למספר המועמדים שאותו בוחר דירג אחריו)
דירוג בורדה (borda count) של מועמד הוא סך הנקודות שהוא צבר מכל הבוחרים.
המועמד הנבחר על פי שיטת בורדה (נקרא גם: מנצח בורדה) הוא המועמד שדירוג בורדה שלו הוא הגבוה ביותר.
הגדרה נוספת
דירוג בורדה של מועמד ניתן להגדרה גם באופן הבא:
לכל זוג מועמדים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}s\end{align}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}t\end{align}} , נסמן ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} N_{s,t}\end{align}} את מספר הבוחרים המדרגים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}s\end{align}} לפני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}t\end{align}} . דירוג בורדה של מועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}s\end{align}} שווה ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{t \neq s} N_{s,t} } .
נראה שהגדרה זו שקולה להגדרה הקודמת:
יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_{s,t,k} } שווה ל-1 אם בוחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}k\end{align}} מדרג את לפני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}t\end{align}} , ושווה ל-0 אחרת. ברור ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_{s,t} = \sum_{k} a_{s,t,k} } ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{t \neq s} N_{s,t} = \sum_{t \neq s} \sum_{k} a_{s,t,k} } .
לפי ההגדרה הראשונה, דירוג בורדה של מועמד הוא סכום מספר המועמדים שדורגו תחתיו על ידי כל בוחר, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k} \sum_{t \neq s} a_{s,t,k} } . בהחלפת סדר הסכימה יתקבלו ביטויים זהים ולכן ההגדרות שקולות.
היסטוריה ושימושים
שיטת בורדה הוצעה לראשונה במאה ה-13 על ידי המדען והפילוסוף רמון ליול, אולם היא נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי בן המאה ה-18 ז'אן-שארל דה בורדה שהגה אותה בשנת 1770.
בבחירות לפרלמנט של נאורו ולבית המחוקקים הלאומי של סלובניה משתמשים בשיטת בורדה, וניתן לומר שגם המנצח בתחרות האירוויזיון נקבע על פי סוג של שיטת בורדה.
במונחים של תורת המשחקים, שיטת בורדה היא סוג של פונקציית בחירה חברתית, כלומר פונקציה המקבלת את יחסי ההעדפות של הבוחרים ומחזירה את המועמד הנבחר.
שיטת בורדה מקיימת את תכונת המונוטוניות והפה אחד, אולם היא אינה מקיימת את תכונת האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
דוגמה
תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}N\end{align}}
קבוצה של 21 בוחרים, ויהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A\end{align}}
,הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}B\end{align}}
ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C\end{align}}
שלושה מועמדים.
נניח שהבוחרים דירגו את המועמדים באופן הבא:
| מספר הבוחרים | מקום ראשון | מקום שני | מקום שלישי |
|---|---|---|---|
| 1 | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A\end{align}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}B\end{align}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C\end{align}} |
| 7 | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A\end{align}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C\end{align}} | |
| 7 | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}B\end{align}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C\end{align}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A\end{align}} |
| 6 | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C\end{align}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}B\end{align}} | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A\end{align}} |
נחשב את דירוג בורדה של כל אחד מהמועמדים :
עבור מועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A\end{align}}
: יש שמונה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות בורדה ושלושה עשר בוחרים שמעניקים לו 0 נקודות בורדה. לכן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}A\end{align}}
מקבל בסך הכל 16 נקודות בורדה.
עבור מועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}B\end{align}}
: יש שבעה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות בורדה, שבעה בוחרים שמעניקים לו נקודת בורדה אחת ושבעה בוחרים שמעניקים לו 0 נקודות בורדה. לכן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}B\end{align}}
מקבל בסך הכל 21 נקודות בורדה.
עבור מועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C\end{align}}
: יש שישה בוחרים שמעניקים לו 2 נקודות בורדה, ארבעה עשר בוחרים שמעניקים לו נקודת בורדה אחת ובוחר אחד שמעניק לו 0 נקודות בורדה. לכן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C\end{align}}
מקבל בסך הכל 26 נקודות בורדה.
כיוון שדירוג בורדה של מועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C \end{align}} גדול ממש מדירוג בורדה של שני המועמדים האחרים, הוא מנצח בורדה במקרה זה.
שיטת בורדה ושיטת קונדורסה
שיטת קונדורסה היא שיטת בחירות אחרת, המקיימת את תבחין קונדורסה. שיטה כזו מבטיחה שכאשר יש מועמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}i\end{align}} שעבורו לכל מועמד אחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}j\end{align}} יש יותר בוחרים המעדיפים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}i\end{align}} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}j\end{align}} - אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}i\end{align}} ייבחר.
שיטת בורדה אינה מקיימת את תבחין קונדורסה, שכן היא נוטה לבחור מועמדים המקובלים בצורה רחבה אבל לא בהכרח מועמדים הרצויים על ידי הרוב.
תכונה זו מביאה לביקורת על שיטת בורדה, אך יש לציין כי גם שיטת קונדורסה נתונה לביקורת על ידי שימוש ברכיב קונדורסה.
לקריאה נוספת
- שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946
