תנאי הצמצום הזעיר
בתורת החבורות, תורת קנסליישן הקטן (לעיתים מתורגם כ"תנאֵי הצמצום הזעיר" או כ"תנאי קיזוזים קטנים") הם תנאים שעשויה לקיים הצגה של חבורה על ידי יוצרים ויחסים. תנאים אלו הם מרכיב חשוב בתורת החבורות הקומבינטורית, החוקרת חבורות על-פי ההצגות שלהן, ומאפשרים לפתור לפעמים את בעיית המילה. התנאים מתייחסים לאופן שבו עשויים להיחתך היחסים המגדירים את החבורה, וכשהם מתקיימים הם מאלצים כל מילה המייצגת את איבר היחידה להכיל פיסה משמעותית מאחד היחסים. תכונה זו מאפשרת לנתח את החבורה בכלים גאומטריים, דרך דיאגרמת ון-קמפן של אותה המילה, המורכבת מהדבקת יחסים, המהווים שפות של דיסקים דו-ממדיים, לאורך החלקים המשותפים להם. האילוץ על פיסות משותפות, אם הוא חזק מספיק, יוצר עקמומיות שלילית, המכריחה את החבורה להיות היפרבולית.
את היסודות של תנאי הצמצום אפשר למצוא בעבודה של מקס דן, שהראה ב-1910 כיצד לפתור את בעיית המילה של חבורה יסודית של משטח מכוון סגור בעל גנוס 2 לפחות. תנאי צמצום מפורשים הופיעו בעבודות של גרינלינגר בשנות ה-60, ואחר-כך אצל Lyndon ו-Schupp. אולשנסקי (בסוף שנות ה-80) השתמש בגרסה מדורגת של תנאי הצמצום כדי לבנות מפלצות-טרסקי (חבורות אינסופיות שבהן כל תת-חבורה סופית היא ציקלית מסדר ראשוני) ולתת הוכחה חדשה לכך שחבורה מפותלת נוצרת סופית עלולה להיות אינסופית (ראו בעיית ברנסייד).
תנאי הצמצום הזעיר מתייחסים להצגה מצומצמת וסימטרית של החבורה, כלומר, הצגה שבה היחסים מצומצמים-ציקלית (אין יחס מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1x_2\cdots x_k y y^{-1} x_{k+1} \cdots x_n} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y x_1x_2\cdots x_n y^{-1}} ), ויחד עם כל יחס מופיע גם ההפכי שלו וגם כל סיבוב של היחס (היינו, יחד עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1x_2\cdots x_n} מופיע גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2\cdots x_nx_1} ). מילה המופיעה בשני יחסים שונים (שאינם מהווים סיבוב זה של זה) נקראת פיסה. יש שלוש משפחות עיקריות של תנאי צמצום זעיר:
- ההצגה מקיימת את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C'(\lambda)} אם כל האורך של פיסה X ביחס R מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |X|<\lambda |R|} . (התנאי חזק יותר ככל ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} קטן יותר).
- ההצגה מקיימת את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C(p)} אם כל יחס הוא מכפלה של לפחות p פיסות (שקול לזה: לכל תחום פנימי בדיאגרמת ואן-קמפן יש לפחות p שכנים). (התנאי חזק יותר ככל ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p} גדול יותר).
- ההצגה מקיימת את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T(q)} אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3 \leq \ell < q} ולכל רשימת יחסים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0,\dots,R_{\ell-1}} , שאף אחד מהם אינו ההפכי של זה שאחריו (לרבות באופן מעגלי), יש צמד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_iR_{i+1}} שהוא מצומצם ציקלית (שקול לזה: לכל קודקוד פנימי בדיאגרמת ואן-קמפן יש דרגה לפחות q).
כל חבורה מקיימת את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T(3)} . החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}} מקיימת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T(4)} . חבורה המקיימת את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C'(\lambda)} מקיימת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C([1/\lambda]+1)} . מהתנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C(p)} נובע שבדיאגרמת ון-קמפן של מילה טריוויאלית כל תחום פנימי נוגע בלפחות p שכנים. מנימוק כזה נובעת הלמה של גרינלינגר: אם מתקיים התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C'(\lambda)} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \leq \lambda \leq 1/6} , אז לכל מילה מצומצמת המייצגת את איבר היחידה יש תת-מילה משותפת עם יחס R, שאורכה יותר מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-3 \lambda)|R| \geq |R|/2} .
בחבורה נוצרת סופית המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C(6)} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C(4)+T(4)} , מספר היחסים הדרושים להוכחת טריוויאליות של מילה חסום על ידי כפולה קבועה של ריבוע האורך שלה, ובפרט בעיית המילה פתירה. חבורה נוצרת סופית המקיימת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C'(1/6)} , או את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C(7)} , או את התנאים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C'(1/4)} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T(4)} , היא היפרבולית.
תנאי הצמצום הזעיר38935237