אוריינטציה (מתמטיקה)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
טורוסיריעה אוריינטבילית. לטורוס שני צדדים – הפנימי (אינו נראה לצופה) והחיצוני (נראה לצופה), ובהתאם שתי אוריינטציות
שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, אוריינטציה היא מבנה שניתן (לעיתים) להגדיר על אובייקט גאומטרי (בדרך כלל יריעה). לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר אוריינטציה נקראת אוריינטבילית. על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן אז את השנייה מסמנים . יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).

המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. למשל, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. למשל, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.

באופן פורמלי, ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על מרחב לינארי ממשי בתור מחלקת שקילות של בסיסים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהם היא חיובית.

אוריינטציה על יריעה חלקה היא אוריינטציה על המרחב המשיק לכל נקודה "התלויה באופן רציף" בנקודה. באופן פורמלי, על יריעה חלקה ממדית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות[1] ממעלה תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.

על יריעה טופולוגית ־ממדית קשירה וסגורה (Closed manifold) בחירת אוריינטציה שקולה לבחירת יוצר של חבורת ההומולוגיה העליונה[2] . יוצר זה נקרא המחלקה היסודית (Fundamental class) של היריעה. על יריעה טופולוגית ־ממדית כללית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור התאמה "רציפה" של יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית לכל .

בנייות רבות בגאומטריה בכלל וטופולוגיה דיפרנציאלית בפרט, מתבססת על בחירת אוריינטציה. למשל, מכפלה וקטורית במרחב אוקלידי (תלת ממדי), אינטגרציה של תבנית דיפרנציאלית על יריעה, מעלה של העתקה (Degree of a continuous mapping) בין שתי יריעות (מאותו ממד), אינדקס חיתוך[3] של שתי תת-יריעות (מממדים משלימים), דואליות פואנקרה (Poincaré duality), וקובורדיזם (Cobordism). כמו כן, ניתן להגדיר כמה אינווריאנטים של יריעות באמצעות מושג האוריינטציה. למשל, אוריינטביליות וכיסוי האוריינטציות.

בנייות המתבססות על מושג האוריינטציה תלוית בדרך כלל ב"מוסכמות סימן", כגון כלל יד ימין, מושג הכיוון החיובי[4] וכדומה. בערך זה נשתמש במוסכמות המקובלות ביותר, אך ישנן גם מוסכמות אחרות הנמצאות בשימוש.

מבוא אינטואיטיבי

מושג האוריינטציה הוא מופשט, וקשה באופן כללי לתיאור אינטואיטיבי, אולם במקרים פרטיים הדבר אפשרי.

אוריינטציה על עקום

שתי האוריינטציות על המעגל

בחירת אוריינטציה על עקום שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. באופן גרפי מקובל לעשות זאת על ידי סימון חץ על העקום. אם העקום אינו קשיר, יש לשים חץ על כל רכיב קשירות. מכאן אנו רואים שמספר האוריינטציות על עקום עם רכיבי קשירות הוא . עובדה זו נכונה גם בממדים גבוהים יותר.

אם העקום נמצא במישור אז בחירת כיוון התקדמות לאורך העקום שקולה לבחירת צד של העקום באופן הבא: אנו מתאימים לכיוון התקדמות מסוים את הצד שנמצא לימיננו כאשר אנו מתקדמים לאורך העקום בכיוון הנבחר.

אוריינטציה על משטח במרחב

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
בחירת שדה נורמלי[5] למשטח או במילים אחרות "בחירת צד", מגדירה אוריינטציה על המשטח

אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד למשטח הנמצא במרחב, בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת שדה וקטורי נורמלי[5] למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר. הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק למשטחי-על (Hypersurface), זאת אומרת ליריעות ממדיות ב־ .

בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות כלל יד ימין, כיוון סיבוב במשטח. בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח.

אוריינטציה על מרחב אוקלידי ומכפלה וקטורית

כלל יד ימין. לכלל זה יש משמעות רק במרחב עליו נקבעה אוריינטציה

כדי להמחיש את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי תלת־ממדי נשתמש במושג המכפלה הווקטורית. נשים לב כי מושג המכפלה הווקטורית מוגדר רק עבור מרחבים אוקלידיים ספציפיים, למשל או המרחב הפיזי הסובב אותנו. לא ניתן להגדיר מכפלה וקטורית על מרחב אוקלידי תלת-ממדי מופשט. הסיבה לכך היא שלכלל יד ימין אין משמעות במרחב אוקלידי מופשט. ניתן להתייחס אל מושג האוריינטציה בתור המבנה שנדרש כדי שלכלל יד ימין תהיה משמעות.

על כל מרחב אוקלידי תלת־ממדי ניתן להגדיר מכפלה וקטורית (ולתת משמעות לכלל יד ימין) על ידי בחירת בסיס אורתונורמלי (סדור) למרחב[6]. אולם בסיסים שונים עלולום לתת תוצאות מנוגדות. ניתן להראות שאם דטרמיננטת מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא 1 אז הם יובילו לאותה תוצאה. אולם אם דטרמיננטה זו היא 1- אז התוצאות תהיינה מנוגדות[7]. לאור אבחנה זו, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי בתור מחלקת שקילות של בסיסים אורתונורמלים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים אורתונורמלים שקולים אם דטרמיננטת מטריצת המעבר ביניהן היא 1. הגדרה זו תקפה לממדים גבוהים יותר, אולם מוגבלת למרחבים אוקלידיים[8].

העתקות שומרות אוריינטציה

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
דרך נוספת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא, לכתוב על פיסת בד מילה. אם אחרי הפעלת ההעתקה הכתב הופך לכתב ראי אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. אם הוא נשאר כתב "רגיל" (עשוי להיות מסובב או מעוות) ההעתקה שומרת אוריינטציה.

ניתן לגשת למושג האוריינטציה דרך המושג של העתקות שומרת אוריינטציה[9]. נתרכז תחילה במקרה הדו־ממדי. כל יריעה דו־ממדית נראית מקומית כקבוצה פתוחה במישור. ניתן לחשוב על קבוצה כזו כעל פיסת בד גמישה מאד. נניח את היריעה על המישור ונצבע את צידה העליון של היריעה בשחור ואת התחתון בלבן. העתקה מהיריעה למישור היא תהליך שלוקח כל נקודה ביריעה לנקודה חדשה במישור. העתקה כזאת נקראת רציפה אם היא אינה קורעת את היריעה. ההעתקה נקראת שיכון אם נקודות שנות עוברות לנקודות שנות. שיכון רציף שומר אוריינטציה אם הצד השחור נשאר למעלה.

דרך אחרת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא להחליף את פיסת הבד בפיסה שקופה, לצייר עליה ציור של אדם העונד שעון על ידו השמאלית ולהפעיל את ההעתקה. האדם עלול להסתובב ולהתעוות. אולם אם עדיין השעון נמצא על ידו השמאלית אז ההעתקה שומרת אוריינטציה, אם השעון נראה על ידו הימנית אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. תיאור זה מראה כי סיבובים שומרים אוריינטציה בעוד ששיקופים הופכים אותה.

באופן כללי העתקה לינארית שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה חיובית. העתקה חלקה שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדיפרנציאל שלה בכל נקודה שומר אוריינטציה. עובדה זו תקפה לממדים גבוהים יותר.

אוריינטציה וטריאנגולציה

טריאנגולציה של משטחים
אוריינטציה מתאימה על שני משולשים. הסדר הציקלי (Cyclic order) על קודקודי המשולש הראשון הוא ABC ועל השני הוא CBD. על הצלע BC אנו מקבלים שני סדרים מנוגדים

טריאנגולציה היא חלוקה של משטח למשולשים באופן ששני משולשים יכולים לגעת אחד בשני רק לאורך צלע (מלאה) או קודקוד. לאחר שביצענו טריאנגולציה למשטח, ניתן להגדר אוריינטציה על המשטח בתור בחירת אוריינטציה על כל אחד מהמשולשים באופן תואם עבור משולשים שכנים.

אוריינטציה על משולש היא בחירה של סדר ציקלי (Cyclic order) על קודקודי המשולש. זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשון, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו.

שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים. זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B (ראה איור).

לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד. יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה. לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות. אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים. לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו למשל טבעת מביוס או בקבוק קליין.

דוגמאות של אוריינטציה באמצעות טריאנגולציות
ניסיון כושל להגדיר אוריינטציה על טבעת מביוס. על המשולש האדום לא ניתן להגדיר אוריינטציה מתאימה לשני שכניו בו זמנית.
אוריינטציה על הספירה
אוריינטציה על הטורוס


שגיאות פרמטריות בתבנית:תמונות מרובות

פרמטרים ריקים [ 1 ] לא מופיעים בהגדרת התבנית

המקרה הרב ממדי

גם על יריעות רב ממדיות ניתן לעיתים להגדיר אוריינטציה בדרך זאת. אולם צריך לבצע מספר שינויים בהגדרה, ויש לשיטה זאת מספר מיגבלות:

  • טריאנגולציה של יריעה רב ממדית היא חלוקה שלה לסימפלקסים במקום למשלשים
  • אוריינטציה על סימפלקס איננה סדר ציקלי על קודקודיו, אלא מחלקת שקילות של יחסי סדר (מלאים) על קודקודיו תחת יחס השקילות הבא: שני יחסי סדר שקולים אם התמורה המעבירה ביניהם היא תמורה זוגית.
  • יש לשנות בהתאם את מושג ההתאמה בין אוריינטציות על סימפלקסים שכנים.
  • החל מממד 4 יש יריעות טופולוגיות שלא ניתן לבצע להם טריאנגולציה. מסיבה זאת, לא ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה באופן כללי באמצעות טריאנגולציה.

אוריינטציה על מרחב לינארי

קובץ:Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אוריינטציה (אלגברה לינארית)

יהיה מרחב לינארי ממשי ממדי.

הגדרה באמצעות בסיסים

ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על כך:

הגדרה: אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.

מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב לינארי (לא טריוויאלי[10]) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב לינארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.

אוריינטציה סטנדרטית

על מרחבים לינאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי. אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:

.

נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.

באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית. כמו כן, במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה[11].

הגדרה באמצעות תבניות

ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על גם באמצעות -תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה

המקיימת:

  • לינארית על פי כל אחד מהמשתנים ב
  • אנטי-סימטרית ביחס להחלפת כל שני משתנים ב .

מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי). כעת ניתן להגדיר

הגדרה: אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקיליות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.

הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס

ב אפשר להתאים תבניות באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת

הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.

אוריינטציה על נקודה

ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש . במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת ב + או ב 1 ונקראת חיובית והשנייה ב - או ב 1- ונקראת שלילית.

משיכה ודחיפה של אוריינטציה (תחת איזומורפיזם)

יהי איזומורפיזם של מרחבים לינאריים. כל תבנית על מגדירה תבנית על באופן הבא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi^*(\omega)(v_1,\dots, v_n)=\omega(\pi(v_1),\dots,\pi(v_n)).}

בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi^*(o)} עבור כל אוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} תהליך זה נקרא משיכה לאחור (Pullback) של אוריינטציה.

ניתן גם להגדיר דחיפה קדימה (Pushforward) של אוריינטציה על ידי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_*(o):=(\pi^{-1})^*(o).}

אוריינטציה על יריעה חלקה

תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} יריעה חלקה מממד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .

הגדרה

אוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא התאמה של אוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o_x} על המרחב המשיק לכל נקודה "התלויה באופן רציף" בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

הגדרה באמצעות תבניות

אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת תבניות דיפרנציאליות (Differential form). תבנית דיפרנציאלית ממעלה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -תבניות אנטי-סימטריות על המרחב המשיק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_xM} עבור כל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in M} . תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה. כעת ניתן להגדיר

הגדרה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} נקראת אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכה[12]. אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקיליות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.

נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן ניתנות למיקבול (Parallelizable manifold) (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} שלהן בסיס למרחב המשיק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_x(M)} בצורה שתלויה באופן חלק ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} )[13].

הגדרה באמצעות אטלסים ומפות

דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה.

הגדרה: תהיינה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U,V \subset \R^n} קבוצות פתוחות. דיפאומורפיזם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:U\to V} נקרא שומר אוריינטציה אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית). אטלס חלק[14] על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} נקרא אוריינטבילי אם העתקות המעבר[15] שלו הן שומרות אוריינטציה. אוריינטציה על היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי.

ניתן להראות בעזרת חלוקת היחידה שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות[16].

אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
האוריינטציה הסטנדרטית על העיגול משרה, בעזרת הנורמל החיצוני, אוריינטציה על המעגל. הזוג המורכב מהנורמל החיצוני בנקודה על המעגל ומוקטור משיק בכיוון האוריינטציה על המעגל מהווה בסיס חיובי במישור
נורמל למשטח מגדיר אוריינטציה על המשטח, אותה ניתן להמחיש על ידי כיוון סיבוב על המשטח. אוריינטציה על המשטח מגדירה אוריינטציה על השפה שלו.

נקבע אוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .M} יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \subset M } משטח-על (Hypersurface) ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} (זאת אומרת תת-יריעה (Submanifold) הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} ממדית).

שדה טרנסברסלי (transverse) הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \subset M } הוא התאמה של ווקטור משיק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_x\in T_xM} ל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} בכל נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in N} כך ש

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_x\notin T_xN.}

בהינתן שדה טרנסברסלי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} , האוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} משרה אוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o_N} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} באופן הבא: תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} תבנית המייצגת את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} . נגדיר תבנית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} על ידי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta_x(v_1,\dots, v_{n-1}):=\omega_x(\xi_x,v_1,\dots, v_{n-1}).}

נגדיר את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o_N} להיות מחלקת השקילות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\eta}

במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס. שדה נורמלי הוא חתך חלק של האגד הנורמלי (Normal bundle) הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .Norm_N^M:=(T_M)|_N/T_N} במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של ווקטור במרחב המנה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Norm_{N,x}^M:=T_x M/T_xN} לכל נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .x\in N} [17]

שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית. במקרה שעל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} נתונה מטריקה רימנית בנוסף לאוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} , אנו מקבלים התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוריינטציות על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ושדות נורמלים באורך יחידה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} . כיוון שעל יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^n} שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,N} בדומה למוסבר במבוא.

יריעה עם שפה

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא יריעה עם שפה (Manifold with boundary) אז השפה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \part M} של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא היפר-משטח ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .M} ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\part M} זאת אומרת שדה טרנסברסלי על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \part M} אשר לא נמצא בחצי-מרחב המשיק[18] ל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} באף נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .x \in \part M} האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת האוריינטציה המושרית על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\part M} קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.

הערה: למרות שהבניות בפרק זה מוגדרות היטב הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^n} , העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון.

שימושים

בעזרת משפט ז'ורדן (Jordan curve theorem) ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור אוריינטביליות:

טענה: היפר-משטח סגור (Closed Hypersurface) (במרחב לינארי) תמיד אוריינטבילי.

משיכה של אוריינטציה (תחת דיפאומורפיזם מקומי)

העתקה חלקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:M \to N} נקראת דיפאומורפיזם מקומי (או העתקת אטאל (Étale morphism)) אם הדיפרנציאל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_x \phi} שלה בכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} הוא איזומורפיזם. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} קיימת סביבה פתוחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subset M} כך ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(U)} היא קבוצה פתוחה והצמצום (Restriction) הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi|_U:U \to \phi(U)} הוא דיפאומורפיזם.

בהינתן אוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi^*(o)} על ידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\phi^*(o)_x=(d\phi)^*(o_{\phi(x)})} במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} המייצגת את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} , ולהגדיר את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi^*(o)} להיות מחלקת השקילות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\phi^*(\omega)} העתקת אטאל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:M \to N} בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} שווה לאוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .M}

אוריינטציה ואינטגרציה

אחת המוטיבציות להגדרת מושג התבניות הדיפרנציאליות היא האפשרות להגדיר אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית. אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .M}

נקבע אוריינטציה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .M}

תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subset M} קבוצה פתוחה דיפאומורפית ל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\R^n} ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} באופן הבא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_U \omega=\int_{\R^n} \phi^{*}(\omega).}

כאן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:\R^n \to U} הוא דיפאומורפיזם שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^n} מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות[19].

הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה מנוגדת. ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subset M} על ידי חלוקת היחידה. כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות.

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} תבנית הפיכה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,M} אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .M} אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_M|\omega|.}

ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} לא אוריינטבילית) ע"י:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_M|\omega|:=\int_U|\omega|,}

כאשר

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U:=\{x\in M|\omega_x\neq 0\}}

כיסוי האוריינטציות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – כיסוי האוריינטציות
כיסוי האוריינטציות של משטח הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} במרחב: נדמיין שהמשטח עשוי מנייר דו-שכבתי, ונפריד את השכבות. היריעה שתתקבל תהיה המרחב המכסה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{orient}_M} . העתקת הכיסוי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,p:\operatorname{orient}_M\to M} היא ההדבקה של שתי השכבות בחזרה. במקרה ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא טבעת מביוס (זאת אומרת טבעת עם חצי פיתול) היריעה המתקבלת לאחר הפרדת השכבות היא טבעת עם פיתול שלם. יריעה זאת דיפאומורפית לטבעת רגילה, ובפרט היא אוריינטבילית

תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} יריעה. אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in M} של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק (חיובית או שלילית). נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{orient}_M(x)} (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{orient}_M} . כיסוי דו-יריעתי זה נקרא כיסוי האוריינטציות.

אפשר להפוך את כיסוי האוריינטציות לאגד (הנקרא אגד האוריינטציות) או לאלומה (הנקראת אלומת האוריינטציות). באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר קרקטר של החבורה היסודית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_1(M)} (הנקרא קרקטר האוריינטציות). אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריינטבילי עבור יריעה לא אוריינטבילית.

אוריינטציה על אגד ואוריינטציה יחסית

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – אוריינטציה על אגד, אוריינטציה יחסית

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} אגד וקטורי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדי מעל מרחב טופולוגי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .X}

אוריינטציה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים (Fibers) של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} התלויה באופן רציף בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} שמעליה הסיב.

בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:M\to N} בשני מקרים:

  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} היא אימרסיה (immersion)
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} היא סובמרסיה (submersion)

בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad \mathcal Orient_{M/N} ,\quad \Omega_{M/N}}

כל אלה יהיו אובייקטים מעל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .M}

אוריינטציה על יריעה טופולוגית

תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} יריעה טופולוגית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדית. על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p:Orient_M \to M} . כמו במקרה החלק, אוריינטציה על תהיה חתך (Section) של כיסוי האוריינטציות.

כיסוי האוריינטציות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – כיסוי האוריינטציות

כמו במקרה החלק, הגדרת כיסוי האוריינטציות מבוססת על מושג האוריינטציה בנקודה.

הגדרה אוריינטציה בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} [20] היא יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ב

נשים לב שמכיוון ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .H_n(M,M-\{x\};\Z)} איזומורפית ל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z} , הקבוצה בת שני איברים.

נגדיר

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_M:=\bigcup_{x\in M} orient_M(x),}

כאשר הטופולוגיה עלהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_M} מוגדרת, דרך המקרה על ידי הזיהוי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_{\R^n}\cong \R^n \times\{1,-1\}.}

קל לראות שאם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} יריעה חלקה אז הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה במקרה החלק.

כמו קודם ניתן להגדיר את האגד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Orient_M} ואת האלומה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal Orient_M} אבל, להבדיל מהמקרה החלק לא ניתן להגדיר את האגדים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega^{top}_M} או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .D_M} שאר הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.

המחלקה היסודית

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – המחלקה היסודית

נניח כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} יריעה סגורה (זאת אומרת קומפקטית בלי שפה). תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o} אוריינטציה על ניתן להרכיב ממחלקות ההומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o_x \in H_n(M,M-\{x\};\Z)} מחלקה אחת בהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .H_n(M;\Z)}

משפט: קיימת ויחידה מחלקת הומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [M]:=[M,o] \in H_n(M;\Z)} כך ש

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x\in M: \phi_x([M])=o_x}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_x:H_n(M;\Z)\to H_n(M,M-\{x\};\Z)} היא ההעתקה הטבעית, והפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o_x\in H_n(M,M-\{x\};\Z)} היא המחלקה שמוגדרת על ידי האוריינטציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .o}

מחלקת הומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [M]} נקראת המחלקה היסודית (Fundamental class). באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על המחלקה היסודית בתור המחלקה המייצגת את "כל היריעה".

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} קשירה אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [M]} יוצרת את חבורת ההומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(M;\Z)} אשר איזומורפית ל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\Z} במקרה זה ניתן להגדיר אוריינטציה בתור בחירה של מחלקה יסודית (זאת אומרת בתור יוצר של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(M;\Z)} ). אם לא אוריינטבילית (אבל קשירה) אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(M;\Z)=0} ).

הכללות
  • עבור יריעות קומפקטיות עם שפה ניתן להגדיר את המחלקה היסודית בתור איבר בהומולוגיה היחסית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(M,\part M;\Z)}
  • עבור יריעות לא קומפקטיות (בלי-שפה) המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגית בורל-מור (Borel–Moore homology) (המושג הדואלי לקוהומולוגיה עם תומך קומפקטי (Cohomology with compact support))
  • עבור יריעות (סגורות) לא אוריינטביליות (או עבור יריעות עליהן לא נקבעה אוריינטציה), המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(M;\Z/2\Z)} או בהומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(M;\mathcal Orient_M)} של עם מקדמים באלומת האוריינטציות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal Orient_M} .
  • ניתן גם להגדיר את ההכללה המשותפת של ההכללות הקודמות

אוריינטציה יחסית (המקרה הכללי)

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אוריינטציה יחסית

תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:X \to Y} העתקה רציפה של מרחבים טופולוגיים. באופן אנלוגי למקרה החלק, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_{X/Y}, Orient_{X/Y},\mathcal Orient_{X/Y}} ) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים:

האנלוג של אימרסיה: לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in X} קיימת סביבה פתוחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subset M} ומספר טבעי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} כך ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(U)} היא תת-קבוצה סגורה מקומית (Locally closed subset) והצמצום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi|_U:U \to Y} ניתן לפירוק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h\circ i} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i:U\to U \times \R^{k}} הוא השיכון הסטנדרטי ו הוא הומיאומורפיזם לתמונה.
האנלוג של סובמרסיה: לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in X} קיימת סביבה פתוחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subset X} ומספר טבעי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} כך ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(U)} היא קבוצה פתוחה והצמצום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi|_U:U \to \phi(U)} ניתן לפירוק כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h:U\to \phi(U) \times \R^{k}} הוא הומיאומורפיזם ו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p: \phi(U) \times \R^{k} \to \phi(U)} הוא ההטלה.

נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעיתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y} אינם יריעות.

הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה יחסית במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.

אוריינטביליות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה אוריינטבילית

יריעה נקראת אוריינטבילית (Orientability) אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^n} ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעיתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות.

דוגמאות

סיכום

הטבלה הבאה מסכמת את הדוגמאות למעלה ועוד מספר דוגמאות כמו גם קריטריונים לאורינטביליות (והעדרה).

יריעות אוריינטביליות יריעות לא אוריינטביליות
  • יריעה אליה מועתקת יריעה לא אוריינטבילית על ידי הומאומורפיזם מקומי
    • יריעה בעלת תת-קבוצה פתוחה לא אוריינטבילית
      • סכום קשיר של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי
        • משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים
  • מכפלה של יריעות אוריינטביליות
  • מכפלה של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי

שימושים במתמטיקה

ספירת נקודות מכוונת

לאורינטציה תפקיד בבניות רובות בטופולוגיה דיפרנציאלית. צורת שימוש אחת באורינטציה, היא בהרחבת מושג הספירה. יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות קומפקטיות מממד אפס, דהיינו קבוצות דיסקרטיות סופיות. יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן. מספר הנקודות הוא מספר טבעי והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה. אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה. כלומר מספר הנקודות בעלות אורינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אורינטציה "-". מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר.

ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אובייקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האובייקט הנמלד (בדרך כלל בניה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אובייקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות מודולו 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z} אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים בהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z/2\Z} , מה שהופך אותו לחלש יותר.

להלן מספר דוגמאות של אינווריאנטים כאלה.

מעלה של העתקה

תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:M \to N} העתקה חלקה של יריעות חלקות מכוונות מממד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . לפי הלמה של סארד יש להעתקה זאת ערך רגולרי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y \in N} . הסיב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi^{-1}(y)} של הנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} הוא יריעה מממד אפס. המעלה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} מוגדרת להיות המספר המכוון של נקודות היריעה .

אינדקס חיתוך

תהי יריעה חלקה, קומפקטית ומכוונת מממד ויהיו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N,L \subset M} תת-יריעות סגורות מכוונות. נניח כי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim N +\dim L = \dim M}

במקרה כזה ניתן להגדיר את אינדקס החיתוך של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} . לשם כך יש להשתמש בעיקרון הטרנסוורסליות (המבוסס על הלמה של סארד), שאומר שאפשר לשנות מעט את היריעות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N,L} כך שהחיתוך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \cap L} יהיה טרנסבווסלי. מכאן שהחיתוך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \cap L} הוא יריעה מממד 0. האורינטציות על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M,N} ו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} מגדירות אוריינטציה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \cap L} . אינדקס החיתוך של ו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} מוגדר להיות המספר המכוון של נקודות היריעה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \cap L} .

תורת מורס

מקרה נוסף בו משתמשים בספירה מכוונת הוא בתורת מורס. תורת מורס, או ליתר דיוק גרסתו של סמיל לתורה זאת מתאימה לשלשה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (M,f,\gamma)}מצב כללי) המורכבת מיריעה חלקה סגורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} פונקציית מורס הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} ומטריקה רימנית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} , קומפלקס שרשרת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (C_i,d)} . החבורות האבליות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_i} הן החבורת האבליות החופשיות הנפרסות על ידי הנקודות הקריטיות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} מאינדקס מורס הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} . ה דיפרנציאל מוגדר בעזרת ספירה מכוונת של מסלולים גרדיינטים בין שתי נקודות קריטיות בעלות אינדקס עוקב.

להבדיל מהמקרים הקודמים, תורת סמיל מורס תקפה גם כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} אינה אוריינטבילית, מבלי הצורך להחליף את חוג השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z} בחבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z/2\Z} . לשם כך יש לבחור אוריינטציות מקומיות בסביבת כל נקודה קריטית, המתאימות אחת לשנייה במובן מסוים שלא מספיק חזק כדי לאפשר הרכבת אורינטציה אחת מכולם. תהליך זה מורכב, ולכן במקרים מסוימים מעדיפים להסתפק בתורת מורס עם מקדמים ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z/2\Z} . הדבר בולט עוד יותר בתורת פלויר, שהיא הכללה מרחיקת לכת של תורת מורס.

קובורדיזם

בטופולוגיה אלגברית, למחלקות רבות של יריעות אפשר להגדיר חבורת קובורדיזם מתאימה. לדוגמה חבורת הקובורדיזמים של היריעות הסגורות מוגדרת כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ממדיות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M,N} שקולות אם האיחוד הזר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M \cup N} הוא שפה של יריעה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} ממדית. האיחוד הזר מגדיר את הפעולה (החיבורית) על חבורה אבלית זאת. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0 היא החבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z/2\Z} .

באופן דומה ניתן להגדיר את חבורת הקיבורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות מכוונות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ממדיות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (M,o),(N,p)} שקולות אם האיחוד הזר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (M \cup N,o\cup -p)} הוא שפה של יריעה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} ממדית. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מכוונות מממד 0 היא החבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z} .

באופן כללי יותר, חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות היא תמיד מפיתול 2 (זאת אומרת מרחב לינארי מעל השדה הסופי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb F_2} ) בעוד שחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות לעיתים חסרת פיתול כלל.

מדוגמאות אלה רואים כי חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות מכילה מידע שלא נמצא בחבורת הקיבורדיזם של היריעות הסגורות, ובמובנים מסוימים עשירה ממנה.

את האינווריאנטים שתוארו בפרק הקודם (מעלה, ואינדקס חיתוך) אפשר לראות כאינווריאנטים שערכיהם בחבורת הקיבורדיזם של יריעות מממד 0. אם היריעות המקוריות מכוונות, אז האינווריאנטים הם עם ערכים ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z} , אם לא, אז הערכים ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z/2\Z} .

דואליות פואנקרה

בעזרת המחלקה היסודית ומכפלת הספל (Cup product) ניתן להגדיר את דואליות פואנקרה. תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} יריעה סגורה מכוונת מממד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . דואליות פואנקרה היא דואליות (זאת אומרת זיווג לא מנוון) בין הקו-הומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^k(M,F)} והקו-הומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^{n-k}(M,F)} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} שדה ממציין 0. הזיווג מוגדר על ידי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle a,b\rangle:= \langle a \smile b,[M]\rangle}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \smile } היא מכפלת הספל, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in H^i(M,F),b\in H^{n-i}(M,F)} והזיווג באגף שמאל הוא הזיווג הסטנדרתי בין הומולוגיה וקו-הומולוגיה.

זיווג זה מגדיר איזומורפיזם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_k(M,F) \cong H^{n-k}(M,F)} . בצורה זאת דואליות פואנקרה תקפה עבור הומולוגיות בכול חוג מקדמים. לדואליות פואנקרה יש גם גרסאות עבור יריעות כלשהן, בדומה לגרסאות השונות של המחלקה היסודית. לדואליות פואנקרה הכללה מרחיקת לכת – דואליות ורדיה.

הכללות, גרסאות ואנלוגיות

אוריינטציה בתורת הגרפים

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – גרף מכוון, קבוצה סימפלקסיאלית

ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים בעלי אופי גאומטרי. למשל אוריינטציה על גרף משמעה הפיכתו לגרף מכוון, זאת אומרת בחירת כיוון עבור כל קשת. אין כל דרישה להתאמת הכיונים בקודקודים. לכן, להבדיל מיריעה, אין משמעות למושג אוריינטביליות בהקשר של גרף ועל כל גרף אפשר להגדיר אוריינטציה.

באופן דומה ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים מורכבים יותר, כמו למשל קומפלקס סימפלקסיאלי. באובייקטים קומבינטוריים אחרים, כמו למשל קבוצה סימפלקסיאלית, האוריינטציה מובנית בתוך ההגדרה של האובייקט עצמו.

אוריינטציה בתורת ההומולוגיה

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – הומולוגיה של מרחב טופולוגי

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מרחב טופולוגי. ניתן לחשוב על מחלקת הומולוגיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \in H_i(X,\Z)} בתור "אובייקט גאומטרי" מכוון מממד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} בתוך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} (עד כדי יחס שקילות מסוים). לדוגמה, ציקלוס סינגולרי הוא למעשה קומפלקס סימפלקסיאלי מכוון, המועתק לתוך היריעה.

אם מוותרים על האוריינטציה על הקומפלקס הסימפלקסיאלי ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} אז מקבלים מחלקת הומולוגיה עם מקדמים ב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z/2\Z} .

בגישות אחרות לתורת ההומולוגיה ובאופן כללי יותר בתורות הומולוגיה מוכללות, מחליפים את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים באובייקטים גאומטרים אחרים. לדוגמה, אם נחליף את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים ביריעות, נקבל את חבורות הקובורדיזם של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} .

גם בתורות קו-הומולוגיה האוריינטציה באה לידי ביטוי. למשל קו-הומולוגית דה-ראהם מבוססת על מושג התבניות הדפרנציאליות. מושג זה קשור למושג האוריינטציה על יריעה חלקה.

דואליות ורדיה

מושג האוריינטציה אינו מוגדר למרחבים טופולוגיים שאינם יריעות. אולם ניתן להכליל את אלומת האוריינטציות (ואת אלומת האוריינטציות היחסית) למרחבים טופולוגיים קומפקטיים מקומית. הדבר נעשה במסגרת דואליות ורדיה. דואליות ורדיה היא למעשה מימוש של פורמליזם ששת הפונקטורים של גרוטנדיק עבור מרחבים טופולוגיים. הפורמליזם כולל פנקטורים שונים בין קטגוריה הנגזרת של קטגוריות האלומות על מרחבים שונים. אחד מהפנקטורים האלה הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi^!:D(Y) \to D(X) } המוגדר עבור העתקה רציפה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi:X \to Y} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(X)} היא הקטגוריה הנגזרת של קטגורית האלומות על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . פנקטור זה הוא הצמוד מימין של הפנקטור הניגזר של פנקטור התמונה הישרה עם תומך קומפקטי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_!:D(X)\to D(Y) } .

באמצעות הפנקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi^!} ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל היחסי על ידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal D_{X/Y}:=\pi^!(\Z_X)} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z_X} היא האלומה הקבועה על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} הוא נקודה, אנו מקבלים את הקומפלקס המדאל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal D_{X}:=\mathcal D_{X/pt}} . אלומת האוריינטציות ואלומת האוריינטציות היחסית הן מקרים פרטיים[21] של הקומפלקס המדאל והקומפלקס המדאל היחסי. בהתבסס על הקומפלקס המדאל ניתן להגדיר את פנקטור הדואליות של ורדיה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb D:D(X) \to D(X)} על ידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb D:=RHom(\cdot, D_X)} . מנקודת המבט של דואליות ורדיה, דואליות פואנקרה היא מקרה פרטי של הטענה הבאה:

.הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb D \circ \pi_* \cong\pi_! \circ \mathbb D}

אוריינטציה על יריעות פסוודו-רימניות

מושג האוריינטציה על מרחב לינארי מבוסס על כך שלחבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle GL_n(\R)} יש שני רכיבי קשירות. לכן על מרחב לינארי יש שתי אוריינטציות. שני בסיסים מגדירים אותה אוריינטציה על מרחב אם מטריצת המעבר ביניהם נמצאת ברכיב הקשירות של היחידה ב, הם מגדירים אוריינטציות הפוכות אם המטריצה נמצת ברכיב השני.

המצב במרחבים עם מכפלה פנימית דומה מכיוון שלחבורה האורטוגונלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_n} יש גם כן שני רכיבי קשירות. אולם אם אנו מאפשרים למכפלה הפנימית לא ליהית מוגדרת חיובית אז אנו יכולים לעדן את מושג האוריינטציה. הסיבה לכך היא שלחבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_{p,q}} יש ארבעה רכיבי קשירות.

בהינתן תבנית ריבועית מסיגנטורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (p,q)} על מרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} וקרקטר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi:O_{p,q} \to \{+1,-1\}} ניתן להגדיר יחס שקילות על קבוצת הבסיסים האורטונורמליים[22] באופן הבא: שני בסיסים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_1} והפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_2} שקולים אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(M_{B_1}^{B_2})=1} . מכיוון של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_{p,q}} יש שלושה קרקטרים לא טריוויאליים אנו מקבלים שלושה יחסי שקילות. לכל אחד מהיחסים האלה אפשר להתאים גרסה של מושג האוריינטציה. כך בנוסף לאוריינטציה נקבל שני מושגים נוספים הנקראים, בהשראת תורת היחסות, אוריינטצית מרחב ואוריינטצית זמן.

באופן דומה מגדירים מושגים אלה על יריעה פסוודו-רימנית.

אוריינטציה בגאומטריה אלגברית

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – גאומטריה אלגברית ממשית, יריעת נאש

מכיוון שמושג האוריינטציה מבוסס על רכיבי הקשירות של החבורה הוא מושג ממשי מטבעו, ולכן לא מוגדר עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי. מעל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} המצב שונה. על יריעה אלגברית ממשית חלקה (ובאופן כללי יותר על יריעת נאש) יש מבנה טבעי של יריעה חלקה ולכן ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה עבור יריעות נאש. יתר על כן על כיסוי האוריינטציות, אגד האוריינטציות ועל אגד הצפיפויות של יריעת נאש גם ניתן להגדיר מבנה של יריעת ואגדי נאש.

בשונה ממושג האוריינטציה, לדואליות ורדיה דוקה יש גרסאות עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי (ואף לסכמות מסוימות). גרסה אחת, עבור אלומות קוהרנטיות, נקראת דואליות גרותנדיק. הקשר של גרסה זאת לאוריינטציה רופף כי בה אלומת האוריינטציות מוחלפת באלומת התבניות הדיפרנציאליות. יש גרסאות נוספות עבור D-מודולים, אלומות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} -אדיות ואלומות סוטות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} -אדיות. גרסאות אלה קשורות יותר למושג האוריינטציה.

אוריינטציה בפיזיקה

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – פסאודו וקטור, סימטריה בפיזיקה

ראו גם

מושגים הדורשים בחירת אוריינטציה

מושגים קשורים

לקריאה נוספת

  • V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall, 1974
  • Michael Spivak, Calculus on Manifolds HarperCollins, 1965
  • Marvin J. Greenberg, John R. Harper, Algebraic topology: a first course Benjamin/Cummings Pub. Co., 1981
  • Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. זאת אומרת, תבניות שאינן מתאפסות באף נקודה.
  2. אם חבורה זו טריוויאלית אז היריעה איננה אוריינטבילית
  3. אינדקס חיתוך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית).
  4. נגד כיוון השעון
  5. 5.0 5.1 שדה וקטורי נורמלי למשטח הוא התאמה של וקטור באורך יחידה לכל נקודה במשטח המאונך למשטח בנקודה זאת.
  6. בחירת בסיס מזהה את המרחב עם שבו המכפלה הווקטורית מגדרת.
  7. מטריצת המעבר בין שני בסיסים ארתונורמלים היא אורתוגונלית, ולכן הדטרמיננטה שלה היא ±1
  8. אם להחליף את המספר 1 במספר חיובי כלשהו היא תהייה תקפה למרחבים לינאריים
  9. באופן דומה מושג היריעה החלקה מבוסס על המושג (הפשוט יותר) של העתקה חלקה מ־ לעצמו.
  10. במקרה הטריוויאלי נדון בהמשך
  11. למעשה המרחבים הפיזיקאלים האלו אינם מרחבים ווקטוריים, אלא מרחבים אפיניים (Affine space). זאת אמרת, שעל מנת להגדיר עליהם מבנה של מרחב ווקטורי יש לבחור את ראשית הצירים. אולם אין הדבר משנה לצורך הגדרת אוריינטציה.
  12. לעיתים מכנים תבנית דיפרנציאליות הפיכות "תבנית נפח". כינוי זה עלול לבלבל כי לעיתים הוא מתייחס לאגד הצפיפויות
  13. הסיבה לכך היא שלהבדיל ממחלקת שקילות של תבניות, מחלקת שקילות של בסיסים אינה קמורה, (ואף אינה כוויצה)
  14. אטלס חלק על יריעה חלקה הוא אוסף של דיפאומורפיזמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_\alpha:U_\alpha \to \R^n} מתתי-קבוצות פתוחות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M}
  15. הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_{\alpha\beta} = \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}|_{\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)} \colon \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta).}
  16. כאן אנו משתמשים בכך שמחלקת שקילות של תבניות קמורה.
  17. השם נורמלי עלול להטעות, מכיוון שהמרחב הנורמלי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Norm_{N,x}^M} אינו תת-מרחב במרחב המשיק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_xM} ולכן לא יכול להיות מאונך ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_xN} . אבל בהינתן מטריקה רימנית על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} ניתן לזהות את המרחב הנורמלי עם האנך ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_xN} בתוך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .T_xM}
  18. חצי-מרחב משיק ליריעה עם שפה בנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} על השפה, הוא חצי-מרחב בתוך המרחב המשיק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_xM} המכיל את הכיוונים המפנים לתוך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M}
  19. כל תבנית דיפרנציאלית על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^n} אפשר לרשום בתור מכפלה של פונקציה והתבנית הסטנדרטית (התבנית היחידה המקיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\omega(e_1,\dots , e_n)=1} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle e_1,\dots , e_n \rangle} הוא הבסיס הסטנדרטי)
  20. הגדרה זאת מניחה ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא יריעה בלי שפה (או לפחות ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} לא נמצאת על השפה של ). לצורך הגדרת מושג האוריינטציה ניתן להתעלם מהשפה.
  21. אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} הוא יריעה אז הקומפלקס המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת בממד היריעה
  22. זאת אומרת בסיסים שבהם מטריצת התבנית הריבועית היא סטנדרטית