תת-מודול קטן

בתורת החוגים, תת-מודול קטן של מודול M מעל חוג R, הוא תת-מודול S כך שלכל תת-מודול אמיתי N, גם הסכום N+S אמיתי. במלים אחרות, לא ייתכן ש-$\ N+S=M$ אלא אם N=M. תת-מודול האפס הוא תמיד קטן, אבל הטרמינולוגיה עשויה להטעות: אם יש למודול תת-מודול המכיל כל תת-מודול אמיתי אחר, אז הוא קטן.

תכונות

אוסף התת-מודולים הקטנים של מודול M סגור תחת "כלפי מטה" (כלומר, תת-מודול של תת-מודול קטן הוא קטן בעצמו), וגם תחת סכומים סופיים. אם S תת-מודול קטן של M, אז הוא תת-מודול קטן של כל מודול המכיל את M. הכיוון ההפוך נכון באופן חלקי מאד: אם S מוכל במודול M והוא קטן בסכום ישר $\ M\oplus M'$, אז הוא קטן גם ב-M. קטנות נשמרת תחת מנה בתת-מודול קטן, כלומר: אם K תת-מודול קטן של M המוכל בתת-מודול E, אז E קטן ב-M אם ורק אם המנה $\ E/K$ קטנה ב-$\ M/K$.

התכונה של תת-מודול להיות קטן ניתנת לאפיון פנימי: S הוא תת-מודול קטן של מודול כלשהו, אם ורק אם הוא תת-מודול קטן בסגור האינג'קטיבי של עצמו.

סכום תת-המודולים הקטנים של R, כמודול מעל עצמו, הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג. הרדיקל עצמו הוא תת-מודול קטן, ולפי הלמה של נקאימה $\ J(R)M$ הוא תת-מודול קטן של M לכל מודול נוצר סופית M.

ראו גם

• תת-מודול גדול (נקרא גם תת-מודול עיקרי)