רדיקל ג'ייקובסון

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא אידיאל השווה לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של החוג. ההגדרות השקולות הרבות הופכות את רדיקל ג'ייקובסון לרדיקל החשוב ביותר בתורת החוגים. כמו ברדיקלים אחרים, תפקידו של רדיקל ג'ייקובסון לתפוס את כל האיברים ה"קרובים" לאיבר האפס. לדוגמה, בחוג קומוטטיבי, כל האיברים הנילפוטנטים שייכים לרדיקל, ואם החוג גם נוצר סופית, הרדיקל עצמו נילפוטנטי.

חוג שרדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס נקרא פרימיטיבי למחצה, והמנה ביחס לרדיקל היא תמיד כזו. כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה.

נקרא על שם המתמטיקאי האמריקאי נתן ג'ייקובסון.

הגדרה

הגדרה באמצעות מאפסים של מודולים פשוטים

מודול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} מעל חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא פשוט אם אין לו תת-מודולים אמיתיים. המאפס של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} (מסומן ב-) הוא אוסף האיברים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} המאפסים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ann}(M) = \{x\in R:xM = 0\}} ; המאפס של כל מודול הוא אידיאל שמאלי.

רדיקל ג'ייקובסון של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} (המסומן ב-, ולפעמים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rad}(R)} ) שווה לחיתוך המאפסים של המודולים הפשוטים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} . במילים אחרות, לרדיקל שייכים האיברים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} המאפסים את כל המודולים הפשוטים.

הגדרה באמצעות אידיאלים שמאליים מקסימליים

כל מודול פשוט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} מעל חוג הוא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R/m} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} הוא אידיאל שמאלי מקסימלי, וגם ההפך נכון. המאפס של מודול מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R/m} שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , ולכן קבוצת המאפסים של כל המודולים הפשוטים מעל חוג שווה בדיוק לאוסף כל האידיאלים המקסימלים השמאליים בחוג. לכן הרדיקל שהוגדר לעיל שווה גם לחיתוך כל האידיאלים המקסימלים השמאליים בחוג.

יתרונה של ההגדרה הזו בכך שהיא "פנימית": היא תלויה רק במבנה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} עצמו, ואינה דורשת בניה של מודולים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} . בנוסף, על אף שההגדרה אינה סימטרית, בכך שהיא מתמקדת באידיאלים מקסימליים שמאליים ולא ימניים, ניתן להוכיח כי שחיתוך האידיאלים השמאליים המקסימלים שווה לחיתוך האידיאלים הימניים המקסימלים. בפרט, רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא תמיד אידיאל דו-צדדי.

ההגדרה שניתנה לעיל כוחה יפה כאשר יש בחוג איבר יחידה (ואפילו יחידה מימין). בחוג בלי יחידה יש לתקן את ההגדרה: הרדיקל שווה לחיתוך האידיאלים השמאליים המודולריים המקסימליים, כאשר אידיאל שמאלי הוא מודולרי אם קיים איבר u כך שהאידיאל מכיל את כל ההפרשים r-ru.

הגדרה באמצעות אידיאלים פרימיטיביים

אידיאל של חוג הוא פרימיטיבי אם חוג המנה פרימיטיבי, כלומר יש לו מודול פשוט נאמן. רדיקל ג'ייקובסון שווה לחיתוך על האידיאלים הפרימיטיביים (ומכאן שאם החוג פרימיטיבי, הרדיקל שלו מתאפס).

הגדרה באמצעות איברים לא-יוצרים

איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא לא-יוצר אם אין אידיאל שמאלי אמיתי כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L+Rx=R} (במילים אחרות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} יוצר תת-מודול קטן של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , כמודול מעל עצמו). אוסף האיברים הלא יוצרים (שהוא סכום תת-המודולים הקטנים) שווה לרדיקל ג'ייקובסון של החוג.

הגדרה באמצעות איברים קוואזי-הפיכים

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-z} הפיך משמאל בחוג, אומרים ש- קוואזי-הפיך (משמאל). אידיאל קוואזי-הפיך הוא אידיאל שכל האיברים שלו קוואזי-הפיכים.

רדיקל ג'ייקובסון הוא האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. (הוכחה: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} איבר של הרדיקל אז הוא שייך לכל אידיאל שמאלי מקסימלי, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-y} אינו שייך לאף אידיאל מקסימלי, ומכאן שהוא הפיך משמאל. כלומר, הרדיקל קוואזי-הפיך. מאידך, יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} אידיאל שמאלי קוואזי-הפיך, אז הוא מוכל בכל אידיאל שמאלי מקסימלי, משום שאחרת יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in L} שאינו ב-, ואז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \in m + Rx} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-yx \in m} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} מתאים, בסתירה לכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-yx} הפיך משמאל.)

בחוג עם יחידה, האיבר הוא קוואזי-הפיך משמאל אם יש איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-y)(1-x)=1} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+y-xy=0} . אפשר לאמץ הגדרה זו גם אם בחוג אין יחידה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} הוא קוואזי-הפיך אם יש איבר כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+y-xy=0} . משום כך, גם בחוג שאין בו יחידה, רדיקל ג'ייקובסון מוגדר כאידיאל השמאלי הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. חוג נקרא "רדיקל ג'ייקובסון" אם הוא שווה לרדיקל של עצמו.

דוגמאות

  • אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הוא שדה (או באופן יותר כללי - חוג עם חילוק), אז אין לו אידיאלים שמאליים מקסימליים, ולכן הרדיקל שלו הוא אפס.
  • בחוג חילופי, כל אידיאל שמאלי הוא אידיאל, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של שווה לחיתוך האידיאלים המקסימלים.
  • בחוג המספרים השלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} , האידיאלים המקסימלים הם האידיאלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\mathbb{Z}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} הוא מספר ראשוני. לכן, מספר שלם שייך לרדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים, אם ורק אם הוא מתחלק בכל מספר ראשוני, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים שווה ל-0.
  • הרדיקל של חוג הפולינומים מעל תחום שלמות הוא אפס.
  • אם הוא חוג מקומי (חילופי) אז ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} אידיאל מקסימלי יחיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J(R) = m} .
  • אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e \in R} הוא אידמפוטנט, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J(eRe) = eRe \cap J(R) = eJ(R)e} [1]. בפרט, לכל חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J(\operatorname{M}_n(R)) = \operatorname{M}_n(J(R))} .

תכונות של הרדיקל

הרדיקל תורשתי: לכל אידיאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} של חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J(I) = I \cap J(R)} .

רדיקל ג'ייקובסון מכיל כל אידיאל שמאלי נילי (משום שאיברים ניליים הם קוואזי-הפיכים), ולכן גם את הרדיקל הנילי העליון של החוג. אחת השאלות העיקריות באשר לרדיקל ג'ייקובסון היא מתי הוא בעצמו נילי (וטוב יותר - נילפוטנטי). הרדיקל אינו מוכרח להיות נילי (למשל, הרדיקל של תחום שלמות מקומי שווה לאידיאל המקסימלי שלו, ואין בו מחלקי אפס).

בהקשר זה הוכיח שמשון עמיצור שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא אלגברה מעל שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} שעוצמתו גדולה מן המימד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} מעליו, אז הרדיקל נילי, וכן שרדיקל ג'ייקובסון של חוג פולינומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R[x]} הוא תמיד מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I[x]} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} אידיאל נילי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} .

רדיקל ג'ייקובסון אינו מכיל אידמפוטנטים (פרט כמובן לאפס). אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא אלגברה מעל שדה, האיברים האלגבריים ברדיקל הם כולם נילפוטנטים.

אחד השימושים הראשונים לרדיקל היה תנאי הקומוטטיביות של ג'ייקובסון (1945): חוג שבו לכל איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^n=a} , הוא קומוטטיבי.

באלגברות מדורגות, רדיקל ג'ייקובסון הוא הומוגני ומדורג-נילי (כלומר, כל אבר הומוגני ברדיקל הוא נילפוטנטי). ההפך אינו נכון: קיימת אלגברה נוצרת סופית, פרימיטיבית למחצה ומדורגת-נילית.

פרימיטיביות למחצה

Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – חוג פרימיטיבי למחצה

חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} נקרא פרימיטיבי למחצה (לפעמים גם "הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} -פשוט למחצה") אם רדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס. כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה. יש חוגים ראשוניים שאינם פרימיטיביים למחצה (למשל - חוג השלמים ה-p-אדיים), חוגים פרימיטיביים למחצה שאינם ראשוניים (למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}\oplus \mathbb{Q}} ), וחוגים ראשוניים ופרימיטיביים למחצה שאינם פרימיטיביים (למשל חוג הפולינומים מעל שדה).

לפי התוצאה של עמיצור שהוזכרה לעיל, אם אין ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} אידיאלים ניליים חד-צדדיים (למשל, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} חוג ראשוני למחצה PI), אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R[x]} פרימיטיבי למחצה.

חוגי הילברט

חוג קומוטטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} נקרא חוג הילברט (או חוג ג'ייקובסון) אם כל אידיאל ראשוני ב- שווה לחיתוך של קבוצה כלשהי (לא דווקא סופית) של אידיאלים מקסימליים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} . במקרה כזה, חיתוך כל האידיאלים המקסימלים בחוג שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים בו. אך חיתוך כל האידיאלים הראשוניים בחוג חילופי שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג הילברט שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים שבו. למשל, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הוא שדה אז חוג הפולינומים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} משתנים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k[x_1,\dots,x_n]} הוא חוג הילברט (במקרה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} שדה סגור אלגברית, עובדה זו נובעת ישירות ממשפט האפסים של הילברט, ומשמעותה הגאומטרית היא שיריעה אלגברית אי פריקה שווה לאוסף הנקודות שעליה). לפיכך, כיוון שחוג זה הוא תחום שלמות, הרי ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle rad(k[x_1,\dots,x_n]) = 0} . מנה של חוג הילברט היא חוג הילברט, ולפיכך רדיקל ג'ייקובסון של כל אלגברה אפינית (שהיא תחום שלמות) שווה ל-0. חוג קומוטטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא חוג הילברט אם ורק אם כל המנות הראשוניות שלו הן פרימיטיביות למחצה. עובדה זו נובעת ישירות מההתאמה בין אידיאלים מקסימליים בחוג המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R/P} לאידיאלים מקסימליים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} המכילים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} .

הלמה של נקאימה

Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – הלמה של נקאימה

ראיה נוספת לעובדת היותם של איברי רדיקל ג'ייקובסון קרובים ל-0 ניתנת על ידי הלמה של נקאימה: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} -מודול נוצר סופית ואם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rad}(R)\cdot M = M} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M=0} . יתר על כן, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} תת-מודול של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rad}(R)\cdot M + N = M} אז בהכרח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=M} . בניסוח אחר, לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} -מודול נוצר סופית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} , תת-המודול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rad}(R)\cdot M} הוא תת-מודול קטן.

בעיות פתוחות

השערת קתה

להשערת קתה ניסוחים רבים, מהם הקשורים ברדיקל של ג'ייקובסון. למשל, הבעיה שקולה לכך שחוג הפולינומים מעל חוג נילי יהיה תמיד רדיקל ג'ייקבסון (של עצמו); לכך שאם חוג הפולינומים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} פרימיטיבי למחצה, אז הרדיקל הנילי העליון של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא אפס; ולכך שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} נילי, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R[x]} אינו חוג פרימיטיבי (במובן המתאים לחוגים ללא יחידה).

השערת ג'ייקובסון

ג'ייקובסון שער שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} נתרי שמאלי אז הרדיקל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J = J(R)} מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cap_{n=0}^{\infty} J^n = 0} . לטענה זו, כלשונה, הובאה דוגמה נגדית (הרשטיין, 1965) ולכן השערת ג'ייקובסון מנוסחת עבור חוגים נתריים מימין ומשמאל. ההשערה בנוסח זה הוכחה עבור מחלקות שונות של חוגים, אך היא איננה ידועה באופן כללי.

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברות חבורה

אחת הבעיות המרכזיות לגבי המבנה של אלגברות חבורה (של חבורות אינסופיות) היא השאלה האם האלגברה פרימיטיבית למחצה. המתמטיקאי הישראלי שמשון עמיצור הראה שהתשובה חיובית אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} ממאפיין אפס ואינו אלגברי. במקרה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הוא שדה אלגברי מעל הרציונליים, הבעיה עדיין פתוחה. אם השדה ממאפיין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} ואין לחבורה איברים מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , אז אלגברת החבורה פרימיטיבית למחצה אם השדה אינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני, וגם אם החבורה פתירה.

לקריאה נוספת

  • T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.
  • M.F. Atiyah, I.G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra.
  • N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ A First Course in Noncommutative Rings, Tsi-Yuen Lam, משפט 21.10
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0