משווה (מתמטיקה)

במתמטיקה, משווה הוא קבוצה בה שתי פונקציות (או יותר) מקבלות ערכים שווים. משווה הוא קבוצת הפתרונות של משוואה.

הגדרה

נניח כי X וY הן שתי קבוצות, וכי f ו-g הן שתי פונקציות מX לY. המשווה של f ו-g מוגדר להיות קבוצת כל האיברים x בהן f שווה לg. באופן מפורש:

$\mathrm{E}\mathrm{q}(f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\text{.}$

בדרך זו ניתן להגדיר משווה לכל זוג פונקציות מX לY. למעשה, אין צורך להגביל את ההגדרה לזוג פונקציות, או אף למספר סופי של פונקציות. באופן יותר כללי, אם F היא קבוצה של פונקציות מX לY, אז המשווה של איברי F הוא קבוצת כל האיברים בהם כל הפונקציות בF שוות. באופן פורמלי:

$\mathrm{E}\mathrm{q}({ℱ}):=\{x\in X\mid \mathrm{\forall }f\in {ℱ}\mathrm{\forall }g\in {ℱ}f(x)=g(x)\}\text{.}$

כמקרה טריוויאלי, אם F מכילה פונקציה בודדת f, מאחר שלכל x בX מתקיים $f(x)=f(x)$ הרי ש $Eq({ℱ})=X$.

בתורת הקטגוריות

משווים ניתנים להגדרה באמצעות תכונה אוניברסלית, המאפשרת להכלילם מהקטגוריה של קבוצות לקטגוריה כלשהי.

בהקשר כללי זה, אם X ו-Y הם שני אובייקטים ו-f ו-g הם שני מורפיזמים מX לY, המשווה של f ו-g הוא אובייקט E ומורפיזם $eq:E\to X$ כך ש $f\circ eq=g\circ eq$ וכך שבהינתן אובייקט O ומורפיזם $m:O\to X$, אם $f\circ m=g\circ m$ אז קיים מורפיזם יחיד $u:O\to E$ כך ש $eq\circ u=m$, כך שמתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:

קישורים חיצוניים

• .html משווה, באתר MathWorld (באנגלית)