אלגברת מלצב

במתמטיקה, אלגברת מלצב היא אלגברה לא אסוציאטיבית, המתקבלת מאלגברה אלטרנטיבית באותו אופן שבו אפשר לקבל אלגברת לי מכל אלגברה אסוציאטיבית. לפיכך, כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, ואפשר להכליל מרכיבים משמעותיים בתורת המבנה של הסוג הראשון, אל המבנה הכללי יותר. מאידך, כמעט כל אלגברת מלצב פשוטה היא אלגברת לי. האלגברות נקראות על-שם אנאטולי מלצב, שהגדיר והחל לחקור אותן ב-1955.

הגדרה

ככל אלגברה לא אסוציאטיבית, אלגברת מלצב היא מרחב וקטורי M מעל שדה, עם תבנית בילינארית $[\cdot ,\cdot ]:M\times M\to M$. התבנית נדרשת לקיים את האקסיומות הבאות:

1. $[x,x]=0$ לכל $x\in M$;
2. $J(x,y,[x,z])=[J(x,y,z),x]$, כאשר $J(x,y,z)=[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]$ הוא ה"יעקוביאן".

אלגברות לי מוגדרות על ידי החלפת האקסיומה השנייה בזהות יעקובי $J(x,y,z)=0$, שהיא בבירור חזקה יותר. את האקסיומה השנייה אפשר לכתוב כ- $[[x,y],[x,z]]=[[[x,y],z],x]+[[[y,z],x],x]+[[[z,x],x],y]$. בפרט, כל איבר מהצורה $[[x,y],[x,z]]$ שייך ל- $[[[M,M],M],M]$.

תכונות וקשרים

אם $(A,\cdot )$ אלגברה אלטרנטיבית, הפעולה $[x,y]=x\cdot y-y\cdot x$ מגדירה עליה מבנה של אלגברת מלצב.

אלגברה לא אסוציאטיבית שכל תת-אלגברה שלה הנוצרת על ידי שני אברים היא אלגברת לי, נקראת אלגברת לי בינארית. במאפיין שונה מ-2, אפשר לתאר תכונה זו באמצעות אקסיומות: $[x,x]=0$ ו- $J([x,y],x,y)=0$. כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, וכל אלגברת מלצב היא אלגברת לי בינארית (כפי שאלגברה אלטרנטיבית עם שני יוצרים היא אסוציאטיבית).

במאפיין שונה מ-2, אלגברות מלצב פשוטות הן או אלגברות לי פשוטות, או (כאשר המאפיין שונה מ-3) החלק הטהור באלגברת קיילי פשוטה ביחס לפעולת הקומוטטור.