אלגברת קיילי

במתמטיקה, אלגברת קיילי היא אלגברה אלטרנטיבית פשוטה מממד 8. אלגבראות קיילי מתקבלות על ידי בניית קיילי-דיקסון מאלגברת קווטרניונים, והן קשורות למבנים מרכזיים באלגברה לא אסוציאטיבית, ובפרט לאלגבראות לי וחבורות לינאריות מטיפוס G2. הדוגמה החשובה ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים, שהיא אלגברת החילוק היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים. כל חוג אלטרנטיבי פשוט שאינו נילי ואינו אסוציאטיבי הוא אלגברת קיילי .

כפי שאלגברת קווטרניונים מוגדרת על-פי שני קבועים מעל שדה הבסיס, אלגברת קיילי מוגדרת על-פי שלושה קבועים: האלגברה $(Q,\gamma )=(\alpha ,\beta ,\gamma )$ היא זו המתקבלת בבניית קיילי-דיקסון מאלגברת הקווטרניונים $Q=(\alpha ,\beta )=F[x,y|x^2=\alpha ,y^2=\beta ,yx=-xy]$ (ההצגה - בהנחה שהמאפיין שונה מ-2) על ידי סיפוח איבר z המקיים $z^2=\gamma$.

מעל כל שדה, יש אלגברת קיילי מפוצלת אחת, וכל שאר אלגבראות קיילי הן אלגבראות עם חילוק. אם יש באלגברת קיילי אידמפוטנט, אז היא מפוצלת, ושווה ל- $C=Q[z]$ כאשר Q אלגברת קווטרניונים כלשהי ו- $z^2=1$. במקרה זה, $e=\frac{1}{2}(z+1)$ אידמפוטנט, וביחס אליו המרכיבים בפירוק פירס הם $C_{00}=F(z-1),C_{11}=F(z+1),C_{01}=(z-1)Q_0,C_{10}=(z+1)Q_0$, כאשר $Q_0$ הוא מרחב האברים בעלי עקבה 0 ב-Q.

נורמה

תבנית הנורמה של אלגברת קיילי קובעת את האלגברה - לפי משפט של נתן ג'ייקובסון, שתי אלגבראות קיילי ממאפיין שונה מ-2 $C,C^{\prime }$ עם תבניות נורמה $n,n^{\prime }$ הן איזומורפיות אם ורק אם תבניות הנורמה שלהן שקולות (כלומר קיים איזומורפיזם $f:C\to C^{\prime }$ כך ש-$n^{\prime }(f(x))=n(x)$.

בפרט, ניתן להסיק כי כל שתי אלגבראות קיילי (מעל שדה ממאפיין לא 2) מפוצלות הן איזומורפיות.

אלגברת הנגזרות

מעל שדות ממאפיין שונה מ-2 ו-3, אלגברת הנגזרות של אלגברת קיילי היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס G2. במאפיין שאינו 2 או 3, כל נגזרת של האלגברה היא סכום של פעולות מהצורה $R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_x,R_y]$, ובפרט היא נגזרת פנימית.