חבורת פרובניוס

בתורת החבורות, חבורת פרובניוס היא חבורה הפועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית, באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת. החבורות נקראות על-שם מייסד תורת ההצגות, פרדיננד גאורג פרובניוס.

במחצית הראשונה של המאה ה-20 שימשו חבורות פרובניוס מעין מעבדה לבחינת שיטות שונות בתורת החבורות הסופיות. ב-1959 הוכיח ג'ון תומפסון שכל חבורה כזו היא פתירה. מעט אחר-כך מילאו חבורות פרובניוס תפקיד חשוב בהוכחת משפט פייט-תומפסון (הקובע שכל חבורה מסדר אי-זוגי היא פתירה), ובמיון של כמה משפחות חשובות אחרות של חבורות סופיות.

הגרעין והמשלימים

נניח ש-G חבורת פרובניוס, כלומר, היא פועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית X, באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת. במקרה כזה, הקבוצה Q, הכוללת, בנוסף לאיבר היחידה, את כל איברי G שאינם מייצבים אף נקודה, מהווה תת-חבורה נורמלית של G, הנקראת הגרעין (או גרעין פרובניוס) של החבורה. כל אחד מן המייצבים $G_x=\{g\in G:g(x)=x\}$ של נקודות $x\in X$ נקרא משלים של Q.

התכונות הבאות שקולות לכך שחבורה סופית G תהיה חבורת פרובניוס:

• יש ל-G תת-חבורה נורמלית Q בעלת התכונה הבאה: פרט לאיבר היחידה, איברי Q אינם מתחלפים עם איברים מחוץ ל-Q.
• יש ל-G תת-חבורה H, כך ש- $H\cap xH{x}^{-1}=1$ לכל איבר $x\in ̸H$.

הגרעין הוא תת-החבורה היחידה בעלת התכונה האמורה (והוא שווה לחבורת פיטינג של G), אך המשלים אינו יחיד (כל תת-חבורה הצמודה למשלים, גם היא משלים; ואלו כל המשלימים, לפי משפט שור-זסנהאוז). הגרעין Q ומשלים שלו H מקיימים $H\cap Q=1$ ו- $G=HQ$, כלומר, חבורת פרובניוס היא מכפלה ישרה למחצה של הגרעין במשלים שלו. זהו "פירוק Hall", כלומר, הסדרים של Q ושל H הם זרים.

מבנה

גם לגרעין של חבורת פרובניוס וגם למשלימים שלו יש מבנה מוגבל ביותר. תומפסון הוכיח ב-1959 שהגרעין של חבורת פרובניוס הוא חבורה נילפוטנטית. זהו משפט קשה ומורכב. קל הרבה יותר להראות שאם המשלים H מסדר זוגי, אז הגרעין אבלי.

למשלים H יש התכונה שכל תת-חבורה שסדרה מכפלת שני ראשוניים, היא ציקלית. מכאן נובע שכל חבורת סילו של המשלים היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. אם H אינה פתירה, האנס זסנהאוז הראה שהיא, או תת-חבורה שלה מאינדקס 2, הן מכפלה של חבורת המטריצות $S{L}_2({\mathbb{𝔽}}_5)$ בחבורה מטא-ציקלית שסדרה זר ל-30. אם H פתירה, יש לה תת-חבורה מטא-ציקלית נורמלית, כך שהמנה היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית מסדר 4.

אף תת-חבורה של המשלים אינה חבורת פרובניוס בעצמה.

תת-חבורות וחבורות מנה

כל תת-חבורה נורמלית של G מוכלת בגרעין, או מכילה אותו. אפשר לבנות מחבורת פרובניוס נתונה G=HQ חבורות פרובניוס נוספות, באופנים הבאים:

• אם $Q_1\subseteq Q$ ו- $H_1\subseteq H$ תת-חבורות, כך ש- $H_1\subseteq N_G(Q_1)$ (כלומר, $H_1$ מוכל בנורמליזטור של $Q_1$), אז $H_1{Q}_1$ חבורת פרובניוס.
• בפרט, אם נבחר $Q_1=Q$, אז לכל תת-חבורה $H_1\subseteq H$, המכפלה $H_{1}Q$ היא חבורת פרובניוס.
• אם $Q_1\subseteq Q$ תת-חבורה נורמלית של G, אז המנה $G/Q_1$ היא חבורת פרובניוס (עם גרעין $Q/Q_1$).

תורת ההצגות

אם $\rho$ הצגה אי-פריקה לא טריוויאלית של Q, אז ההצגה המושרית ${\rho }^G$ גם היא אי-פריקה. יתרה מזו, כל הצגה אי-פריקה של G מושרית או מ-Q, או מחבורת המנה $G/Q\cong H$. כאשר מצמצמים למשלים H הצגה אי-פריקה המושרית מ-Q ל-G, מתקבלת כפולה שלמה של ההצגה הרגולרית של H.

מקורות

• W.R. Scott, Group Theory, Section 12.6.
• J.L. Alperin and Rowen B. Bell, Groups and Representations, pp. 170-174.