מודול יוצר

באלגברה, מודול יוצר (generator module) הנו מודול בו סכומי פונקציונלים מהמרחב הדואלי יוצרים את כל חוג הבסיס. מודול פרו-יוצר (progenerator module) הנו מודל יוצר, פרויקטיבי ונוצר סופית. למודולים המקיימים תכונות אלו תפקיד מבני בתורת המודולים, והם מהווים עזר באפיון מושגים שונים באלגברה: בעזרתם ניתן לאפיין באופן מבני את שקילות מוריטה; הם מהווים חלק מהגדרת איברים טריוויאליים בחבורת בראוור של חוגים.

הגדרה

יהי $R$ חוג, ויהי $P$ מודול מעל החוג. נסמן ב-$P^{*}$ את ההמרחב הדואלי של $P$, כלומר אוסף ההומומורפיזם מהמודול אל חוג הבסיס. אידאל העקבה (trace ideal) של $P$ מוגדר כך:

$\mathrm{tr}(P)=\sum _{f\in P^{*}}f(P)=\{\sum f_i(p_i):f_i\in P^{*},p_i\in P\}$

כלומר, הוא מכיל סכומי פעולות של פונקציונלים על החוג. בדיקה ישירה מראה שזהו אכן אידאל דו צדדי של $R$ (נובע בין השאר מכך ש-$P^{*}$ מודול ימני מעל $R$). המודול $P$ נקרא יוצר יוצר אם אידאל זה שווה לכל החוג: $\mathrm{tr}(P)=R$ (או בשקילות, $1\in \mathrm{tr}(P)$). המודול נקרא פרו-יוצר אם הוא בנוסף פרויקטיבי ונוצר סופית מעל $R$.

תכונות

להלן מספר תכונות שקולות להיותו של מודול יוצר:

1. הפונקטור $P\mapsto {\mathrm{Hom}}_R(P,-)$ הוא נאמן. בפרט, נובע שהתכונה ניתנת לאפיון באופן קטגורי, ולכן נשמרת בין אוביקטים שקולים קטגורית.
2. $R$ הוא מחובר ישר ב-$P^n$.
3. $R$ הוא מחובר ישר ב-$\oplus P$.
4. כל $R$-מודול הוא תמונה של ב-$\oplus P$.

אזומיה הוכיח כי מודול מעל חוג קומוטטיבי שהוא פרויקטיבי ונוצר סופית הוא יוצר (ולכן פרו-יוצר) אם ורק אם הוא נאמן. בפרט, נובע כי כאשר חוג הבסיס קומוטטיבי ואין לא אידמפוטנטים פרט ל-0 ו-1, כל מודול פרויקטיבי ונוצר סופית הוא פרו-יוצר. בנוסף, עבור מודול פרויקטיבי ונוצר סופית מתקיים $\mathrm{tr}(P)\oplus \mathrm{Ann}(P)=R$, כאשר $\mathrm{Ann}$ הוא המאפס של המודול.

שקילות מוריטה

ערך מורחב – שקילות מוריטה

למודולים יוצרים ישנו קשר חשוב לשקילות מוריטה של חוגים - שני חוגים הם שקולים מוריטה אם ורק אם יש שקילות קטגורית בין המודולים הימניים שלהם. מסתבר שתנאי זה שקול לתנאי מבני על החוגים - משפטי מוריטה קובעים כי חוגים הם שקולים מוריטה אם ורק אם אחד מהם הוא חוג אנדומורפיזמים מעל מודול פרו-יוצר של השני. שקילות זו מוכחת ע"י בניית Morita context לכל מודול פרו-יוצר.

ראו גם

• שקילות מוריטה

לקריאה נוספת

• T. Lam, Lectures on Modules and Rings, 1998
• Demeyer and Ingraham, Separable Algebras over Commutative Rings, 1970.