מנרמל

בתורת החבורות, מנרמל (או נורמליזטור) של תת-חבורה H בחבורה G הוא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.

הגדרה

המנרמל של תת-חבורה $H\le G$ הוא אוסף כל האיברים של G המקיימים את התנאי $xH{x}^{-1}=H$. במלים אחרות, אלו האיברים $x\in G$ שעבורם, הצמוד $xh{x}^{-1}$ שייך ל-H לכל $h\in H$, ורק עבור h כזה. את המנרמל מקובל לסמן ב-${\mathrm{N}}_G(H)$, כך ש- ${\mathrm{N}}_G(H)=\{x\in G:xH{x}^{-1}=H\}$.

כאשר מדובר בחבורות סופיות (ואפילו אם H בלבד סופית), הקבוצה $\{x\in G:xH{x}^{-1}\subseteq H\}$ שווה למנרמל. עם זאת, באופן כללי התנאי $xH{x}^{-1}\subseteq H$ חלש מתנאי השוויון, והוא מגדיר קבוצה המכילה את המנרמל, ועשויה להיות שונה ממנו. קבוצה זו סגורה לכפל, אבל אינה בהכרח סגורה לפעולת ההיפוך. לדוגמה, בחבורת Baumslag-Solitar $⟨a,b|ab{a}^{-1}=b^2⟩$, האיבר a אינו שייך למנרמל של תת-החבורה הציקלית $⟨b⟩$, אף על פי ש-$a⟨b⟩a^{-1}\subset ⟨b⟩$.

תכונות עיקריות

מן ההגדרה ברור ש- $H\subseteq {\mathrm{N}}_G(H)$, וש- H היא תת-חבורה נורמלית שם. המנרמל הוא תת-החבורה הגדולה ביותר שבה H נורמלית - כל תת-חבורה של G המכילה את H ושבה H נורמלית, מוכלת במנרמל של H. המנרמל שווה ל-G אם ורק אם H עצמה תת-חבורה נורמלית.

האינדקס של ${\mathrm{N}}_G(H)$ שווה למספר תת-החבורות הצמודות ל-H. אפשר לראות בגודל המנרמל מדד ל"מידת הנורמליות" של תת-החבורה: המנרמל של H שווה ל-H כאשר היא רחוקה ביותר מלהיות נורמלית.

באופן כללי מתקיים $H\subseteq {\mathrm{N}}_G(H)\subseteq {\mathrm{N}}_G({\mathrm{N}}_G(H))\subseteq \cdots$. אם G היא חבורת-p אז $H\subset {\mathrm{N}}_G(H)$ לכל $H\subset G$. לעומת זאת, אם P היא תת-חבורת סילו, אז ${\mathrm{N}}_G(H)=H$ לכל $H\supseteq {\mathrm{N}}_G(P)$.