משפט התיכון

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: $A B^{2} + A C^{2} = 2 A D^{2} + \frac{B C^{2}}{2}$

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:

m A B^{2} + n A C^{2} = m B D^{2} + n D C^{2} + (m + n) A D^{2}

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחה

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם $∠ A B C > \frac{π}{2}$ אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 p \cdot B C$

נעביר אגפים, ונקבל: $2 p \cdot B C = A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}$

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 p \cdot B D$

נציב $B D = \frac{B C}{2}$ , ונקבל: $A D^{2} = A B^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - p \cdot B C$

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: $2 p \cdot B C = 2 A B^{2} + \frac{B C^{2}}{2} - 2 A D^{2}$

על פי כלל המעבר, נקבל: $A B^{2} + B C^{2} - A C^{2} = 2 A B^{2} + \frac{B C^{2}}{2} - 2 A D^{2}$

לאחר העברת אגפים, נקבל: $2 A D^{2} + \frac{B C^{2}}{2} = A B^{2} + A C^{2}$