הלמה של לינדלף

בטופולוגיה, הלמה של לינדלף היא למה הקובעת שמרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב לינדלף.

הלמה היא ניסוח כללי יותר של העיקרון לפיו כל קבוצה פתוחה בישר הממשי היא איחוד בן-מנייה של קטעים פתוחים.

נוסח פורמלי

יהי $X$ מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה, אזי לכל כיסוי פתוח של $X$ יש תת-כיסוי בן-מנייה.

הוכחת הלמה פשוטה: יהי ${𝒞}$ כיסוי פתוח של $X$. יהי ${ℬ}$ בסיס בן-מנייה של $X$.

לכל $x\in X$ קיימת קבוצה בכיסוי המכילה אותו, $x\in U_x\in {𝒞}$. מתכונות הבסיס נובע שיש $B_x\in {ℬ}$ כך ש-$x\in B_x\subseteq U_x$.

האוסף $\{B_x:x\in X\}$ הוא כיסוי בן מניה של $X$. אם כך תהי ${\left\{x_n\right\}}_n$ סדרה שעבורה האוסף ${\left\{B_{x_n}\right\}}_n$ הוא כיסוי של $X$. אזי ${\left\{U_{x_n}\right\}}_n$ הוא תת-כיסוי בן-מניה של ${𝒞}$.

קבוצות פתוחות בישר הממשי

הלמה של לינדלוף בגרסתה הממשית, קובעת כי כל קבוצה פתוחה $U\subset \mathbb{ℝ}$ היא איחוד בן-מנייה של קטעים פתוחים, שכן כל $x\in U$ מוכל באיזה קטע ממשי $x\in I_x\subset U$ בעל קצוות רציונליים. היות שיש מספר בן-מניה של קטעים ממשיים בעלי קצוות רציונליים, ניתן לבחור ל-$U$ כיסוי בן-מניה של קטעים פתוחים.