כמות צירית

בסטטיסטיקה, כמות צירית היא פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים, אשר התפלגותה אינה תלויה בפרמטרים הבלתי ידועים. יש להבדיל בין כמות צירית לסטטיסטי. בעוד סטטיסטי הוא פונקציה של התצפיות בלבד, כמות צירית היא פונקציה אשר היא וערכיה יכולים להיות תלויים בפרמטרים של המודל, אולם ההתפלגות של אותה פונקציה איננה תלויה באותם פרמטרים.

הגדרה

יהי $X=(X_1,X_2,...,X_n)$ מדגם אקראי מהתפלגות שתלויה בפרמטר (או וקטור של פרמטרים) $\theta$.
נגדיר $g(X,\theta )$ משתנה מקרי אשר התפלגותו זהה לכל $\theta$. כלומר, ההתפלגות איננה תלויה בפרמטר $\theta$. אזי $g$ נקרא כמות צירית.
כמויות ציריות הן הכרחיות בבנייה של סטטיסטי מבחן, מאחר שהן מאפשרות לסטטיסטי להיות בלתי תלוי בפרמטר.
בנוסף, כמויות ציריות הן כלי לבנייה של רווחי סמך.

דוגמאות

התפלגות נורמלית עם סטיית תקן ידועה

יהיו $y_1,y_2,...,y_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית, כאשר הפרמטר $\sigma$ ידוע. מתוקף היותם מתפלגים נורמלית אנו יודעים שמתקיים: $\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$
לכן, ניתן להפחית ב- $\mu$ ולקבל: $\overline{Y}-\mu \sim N(0,\frac{{\sigma }^2}{n})$. נמשיך ונחלק ב- $\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}$ ונקבל $\frac{\overline{Y}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
קיבלנו ביטוי שהוא פונקציה של התצפיות ($\overline{Y},n$) ושל הפרמטרים ($\mu ,\sigma$), אולם ההתפלגות של אותו ביטוי היא ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1. כלומר, ההתפלגות של אותו ביטוי איננה תלויה בפרמטרים $\mu ,\sigma$.

התפלגות נורמלית עם סטיית תקן לא ידועה

יהיו $y_1,y_2,...,y_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית, כאשר הפרמטר $\sigma$ אינו ידוע.
נשתמש באומד בלתי מוטה לשונות. אנחנו יודעים ש: $S^2=\frac{\sum (y_i-\overline{Y}{)}^2}{n-1}\sim {\chi }_{n-1}^2\frac{{\sigma }^2}{n-1}$.

נחלק ב- ${\sigma }^2$ ונקבל $\frac{S^2}{{\sigma }^2}\sim \frac{{\chi }_{n-1}^2}{n-1}$ . כעת, נשתמש בעובדה ש: $\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }_{n-1}^2/(n-1)}}\sim t_{n-1}$ ונקבל:

$\frac{(\overline{Y}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})}{\sqrt{S^2/{\sigma }^2}}=\frac{\sqrt{n}(\overline{Y}-\mu )}{S}\sim t_{n-1}$ . קיבלנו פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים אשר מתפלגת בהתפלגות t, ואיננה תלויה בפרמטרים ($\mu ,\sigma$). לכן זוהי כמות צירית.

התפלגות אקספוננציאלית

יהיו $y_1,y_2,...,y_n\sim exp(\theta )$ משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים אקספוננציאלית. נשים לב לקשר: $x_i\sim exp(\theta )=\frac{1}{2\theta }{\chi }_2^2=\mathrm{\Gamma }(1,\theta )$.
לפיכך נקבל גם ש: $\sum _{i=1}^n{y}_i=\frac{1}{2\theta }{\chi }_{2n}^2=\mathrm{\Gamma }(n,\theta )$. נכפול ב-$2\theta$ ונקבל: $2\theta \sum _{i=1}^n{y}_i={\chi }_{2n}^2$.
קיבלנו ש: $2\theta \sum _{i=1}^n{y}_i$ היא כמות צירית, מאחר שההתפלגות שלה איננה תלויה בפרמטר $\theta$.