משפט הסינוסים

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש כללי לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם $a,b,c$ אורכי הצלעות ו- $\alpha ,\beta ,\gamma$ הזויות שמולן, בהתאמה, אז

$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}=2R$

כאשר $2R$ קוטר המעגל החוסם.

הוכחה

א

גובה המשולש המסומן $h$ ניתן להצגה באופן הבא:

$\begin{array}{rl}h& =b\sin (\alpha )\\ h& =a\sin (\beta )\end{array}$

ולכן:

$\begin{array}{r}b\sin (\alpha )=a\sin (\beta )\\ \frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כאשר המשולש קהה-זווית, תהליך ההוכחה כולל שלב ביניים לפי הזווית המשלימה לזווית הקהה ולאחר מכן חוזרים לזווית הקהה עצמה על פי הזהות $\sin (\alpha )=\sin (180^{\circ }-\alpha )$ . כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.

ב

אם מרכז המעגל החוסם הוא $O$ , נמשיך את $BO$ עד שיפגוש במעגל ונקרא לנקודת החיתוך $D$ .

נתבונן ב-$\mathrm{△}BDC$ . במשולש ישר-זווית זה (הזווית ההיקפית $\sphericalangle BCD=90^{\circ }$ שכן היא נשענת על קוטר המעגל). נסמן $\sphericalangle CDB=\delta$ ואז

$a=2R\sin (\delta )$

אבל זווית $\delta =\alpha$ כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

$\begin{array}{r}a=2R\sin (\alpha )\\ \frac{a}{\sin (\alpha )}=2R\end{array}$

כנדרש.

נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}$

שכן הבחירה בצלע $a$ ובזווית שמולה $\alpha$ הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע $b$ ובזווית שמולה $\beta$ .

ראו גם

• משפט הקוסינוסים
• משפט הטנגנסים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0