סינוס (טריגונומטריה)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
גרף הפונקציה סינוס
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

סינוס (מסומן )[1] היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה באופן בסיסי לכל זוויתמספר בין 1- ל־1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון: הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתיאור גל.

הגדרות

הגדרה בסיסית

במשולש זה, סינוס הזווית A שווה

בהגדרתה הבסיסית ביותר, הערך של פונקציית הסינוס בזווית נתונה היא היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר במשולש ישר-זווית. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0, לבין 90 מעלות (או רדיאנים), כלומר לזווית ישרה. משולשים עם זוויות זהות הם משולשים דומים, ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של כל זווית מוגדר היטב.

הרחבה

הגדרת הסינוס של מספר כלשהו

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר , כלומר שיעור ה־ של הנקודה . עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס, לכל מספר ממשי: הסינוס של מספר כלשהו הוא שיעור ה־ של הנקודה על מעגל היחידה, שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לבין ציר הוא (ברדיאנים).

אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה

טור טיילור

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור:

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס, על־ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות: , וזאת מכיון שכאשר קטן, החזקה השלישית שלו וכל החזקות הגבוהות יותר הן זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:

(ראו פונקציה היפרבולית)

הגדרות נוספות

מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.

ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב:

שבר זה מתקבל מטור טיילור שלעיל.

דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית:

מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל.

תכונות

התכונות להלן מתייחסות לפונקציה הממשית

  • פונקציית הסינוס היא אי־זוגית, משום שמתקיים .
  • פונקציית הסינוס היא מחזורית, בעלת מחזור של . זאת משום שסיבוב של מחזיר את הנקודה לנקודת המוצא.
  • פונקציית הסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל . לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון מהצורה: (מקסימום) (מינימום), כאשר מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1, ובמינימום 1-.
  • לפונקציה יש אינסוף שורשים מהצורה , כאשר מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
  • תמונת הפונקציה היא: .

נגזרת

הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס:

הוכחה

לפי הגדרתה, הנגזרת בנקודה שווה לגבול:

על-פי הזהות הטריגונומטרית:
נקבל:

נשתמש בגבול המפורסם וברציפות הפונקציות כדי לקבל:

בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לעצמה. מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה כאשר .[2]

הפונקציה הקדומה של הסינוס היא .

ערכים

ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה

להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:

(זווית)
מעלות רדיאנים גראדים מדויק קירוב עשרוני
0g 0
200g
162/3g 0.258819045102521
1831/3g
331/3g 0.5
1662/3g
50g 0.707106781186548
150g
662/3g 0.866025403784439
1331/3g
831/3g 0.965925826289068
1162/3g
100g 1

זהויות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות
  • פונקציית הסינוס מקיימת: וכן
  • בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים):
  • סכום זוויות:
  • זווית כפולה:
    • ובאופן כללי:
  • חצי זווית:
  • סכום סינוסים:

הפונקציה ההפוכה

גרף פונקציית הארכסינוס

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת ארכסינוס ומסומנת או . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע , וכיון שפונקציית הסינוס אינה חד־חד־ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים . נגזרתה היא .

משפט הסינוסים

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט הסינוסים

משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:

כאשר הזוויות נמצאות מול הצלעות בהתאמה, ו־ רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא סינוס בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ^ בספרי חכמי ישראל נקרא בשם בקע(ראה למשל בחזון אי"ש אורח חיים סימן קט"ו ס"ק ב' ד"ה וקראו)
  2. ^ גדי אלכסנדרוביץ', נעים להכיר – סינוס וקוסינוס (גרסת המשוואה הדיפרנציאלית), באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי
Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0