פתיחת התפריט הראשי

המכלול β

משפט הסינוסים

Triangle and circumcircle with notations.png

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש כללי לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם אורכי הצלעות ו- הזויות שמולן, בהתאמה, אז

כאשר קוטר המעגל החוסם.

תוכן עניינים

הוכחה

א

גובה המשולש המסומן   ניתן להצגה באופן הבא:

 

ולכן:

 

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כאשר המשולש קהה-זווית, תהליך ההוכחה כולל שלב ביניים לפי הזווית המשלימה לזווית הקהה ולאחר מכן חוזרים לזווית הקהה עצמה על פי הזהות   . כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.

ב

אם מרכז המעגל החוסם הוא   , נמשיך את   עד שיפגוש במעגל ונקרא לנקודת החיתוך   .

נתבונן ב-  . במשולש ישר-זווית זה (הזווית ההיקפית   שכן היא נשענת על קוטר המעגל). נסמן   ואז

 

אבל זווית   כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

 

כנדרש.

נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

 

שכן הבחירה בצלע   ובזווית שמולה   הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע   ובזווית שמולה   .

ראו גם