בעיית שטיינר

בעיית שטיינר היא בעיה שהציג הגאומטרן השווייצרי יאקוב שטיינר ב-1850, בירחון המדעי של August Leopold Crelle.

שטיינר שאל על "המכפלה המקסימלית של החלקים של מספר", כלומר, מהו הערך המקסימלי של המכפלה $a_1\times \cdots \times a_{\frac{n}{m}}$ , כאשר $a_1,\dots ,a_{\frac{n}{m}}$ הם חלקים של מספר קבוע $n$ .

לפי אי-שוויון הממוצעים, הערך המקסימלי מתקבל כאשר כל החלקים שווים זה לזה (ול-$m$) , וערכו $m^{\frac{n}{m}}=(m^{\frac{1}{m}}{)}^n$ . מכאן עולה כי עבור $n$ נתון יש לבחור $m$ עבורו $\sqrt[m]{m}$ יהיה מקסימלי.

שטיינר מציין כי "קל למצוא" שהמקסימום מתקבל כאשר $m$ שווה לבסיס הלוגריתם הטבעי (ואכן, זהו תרגיל בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי). במכתבו לירחון הוא מוסיף כי לכל מספר $c>1$ קיים בן־זוג יחיד $d>1$ עבורו $\sqrt[c]{c}=\sqrt[d]{d}$ (במספרים שלמים יש למשוואה זו פתרון יחיד: $\sqrt[2]{2}=\sqrt[4]{4}$).

מקורות

• המאמר של שטיינר
• Jacob Steiner, Works, Vol. 2, p. 423.
• Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, 1965, problem 89.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0