הטלה (מתמטיקה)

באלגברה לינארית הטלה היא סוג של העתקה לינארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב לינארי מסוים.

דוגמה

נסתכל בווקטור ב-${\mathbb{ℝ}}^3$ אותו אפשר לרשום כ-$v=(v_x,v_y,v_z)=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$ , אזי הטלתו על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור $\hat{x}$ תחזיר $P_{x}v=v_x\hat{x}$. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: $P_x^{2}v=P_x(v_x\hat{x})=v_x\hat{x}$ אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל $P_{yz}v=v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה

יהי $V$ מרחב וקטורי ותהי$P:V\to V$ העתקה לינארית. $P$ תיקרא הטלה על תת-מרחב של $V$ אם $P^2=P$. איבר באלגברה המקיים $P^2=P$ נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).

באופן שקול אם נחלק את V לסכום ישר של תתי-מרחב $V=U\oplus W$, אזי לכל וקטור $v\in V$ קיימים $u\in U$ ו- $w\in W$ כך ש $v=u+w$. נאמר שההעתקה הלינארית $E:V\to V$ היא הטלה על $W$ אם היא מקיימת $E(v)=w$.

ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית. הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

תכונות

יהי $V$ מרחב וקטורי עם הטלות $E_1,E_2,...,E_k$ על תתי-המרחב $W_1,W_2,...,W_k$ בהתאמה אזי לכל $1\le i\le k$ מתקיים:

1. $E_i^2=E_i$
2. $E_i{E}_j=0$ לכל $i\ne j$
3. $Im{E}_i=W_i$
4. $V=Ker{E}_i\oplus Im{E}_i$
5. $E_i$ ניתנת ללכסן, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
6. יהי $T:V\to V$ העתקה לינארית, אזי תתי-המרחב $W_i$ הינם תתי-מרחב שמורי T אם ורק אם $T{E}_i=E_{i}T$ (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושים

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.