ערך עצמי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה לינארית, ערך עצמי (Eigenvalue) של העתקה לינארית או של מטריצה הוא סקלר כלשהו, כך שקיים וקטור שונה מוקטור האפס (הנקרא וקטור עצמי) שהפעלת ההעתקה/המטריצה, מכפילה אותו באותו סקלר. במילים אחרות, וקטור עצמי של העתקה/מטריצה הוא וקטור כזה, שעבורו ההעתקה/המטריצה מתנהגים כמו סקלר. אינטואיטיבית, השפעת ההעתקה היא "כיווץ" או "מתיחה" של הווקטור, מבלי ש"תזיז" או "תעקם" אותו.

בשל הקשר ההדוק בין מטריצות והעתקות, המאפשר להביט עליהן כעל שני ייצוגים של אותו הדבר, מושג הערך העצמי זהה עבור שתיהן.

הגדרה פורמלית

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} מרחב וקטורי ותהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T:V\to V} העתקה לינארית. אם קיים וקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf\vec0\ne\mathbf\vec v\in V} השונה מאפס וסקלר שעבורו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T(\mathbf\vec v)=\lambda\mathbf\vec v} , אזי נקרא ל־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} ערך עצמי של , ול־ נקרא וקטור עצמי (Eigenvector) של השייך לערך העצמי .

בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי מטריצה ריבועית מסדר מעל שדה ויהי וקטור.

אם קיים סקלר שעבורו , אז יקרא וקטור עצמי של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} השייך לערך העצמי .

וקטור עצמי ומרחב עצמי

עבור מטריצה , הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר הם כל הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf\vec v=\mathbf\vec0} , כאשר מטריצת היחידה. וכאשר למשוואה הזו יהיה פתרון רק כאשר הדטרמיננטה תהיה שווה לאפס: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A-\lambda I)=0} .

אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} , והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים (כלומר, ), אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן).

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי־תלויים לינארית זה בזה.

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי־תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא למעשה ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf\vec v=\mathbf\vec0} . הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה.

  • את השם "וקטור עצמי" לרוב רושמים כקיצור בתור ו"ע.

מציאת ערכים עצמיים

ערכים עצמיים מסייעים להצגת העתקות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית לתהליכי לכסון מטריצות.

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים.

הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי הבסיס הסטנדרטי הם וקטורים עצמיים שלה.

  • למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
  • סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה.
  • מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה.

שיטות נומריות

עבור מטריצות מסדר גבוה הפולינום האופייני עשוי להיות ממעלה חמישית ויותר. נילס הנריק אבל ופאולו רופיני הראו כי לא קיים פתרון אלגברי כללי למשוואות כאלו (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות), ולכן במקרים כאלו נהוג להשתמש בשיטות נומריות המבוססות על שיטות איטרטיביות. אחת השיטות הנומריות הראשונות שהוצעו למציאת ערכים עצמאיים היא אלגוריתם QR.

אלגוריתמים נפוצים למציאת ערכים עצמיים
אלגוריתם קלט פלט תיאור שלב אתחול שלב עדכון
Power iteration מטריצה כללית הערך העצמי הגדול ווהקטור העצמי המתאים לו מתחילים מווקטור שרירותי, שאותו מכפילים במטריצה ומנרמלים עד להתכנסות. הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_0} שרירותי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_{k+1}=\frac{Ab_k}{\|Ab_k\|}}
אלגוריתם QR[1] מטריצת הסנברג כל הערכים העצמיים מבוסס על איטרציות שבכל שלב מוצאים פירוק QR של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_k=Q_kR_k} (‏הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_k} היא מטריצה אורתוגונלית ו־ היא מטריצה משולשית עליונה). תחת תנאים מסוימים מתכנסים לפירוק שור והערכים העצמיים מצויים על האלכסון של המטריצה המשולשית. הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=Q_1 R_1} הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{k+1}=R_k Q_k}
איטרציות יעקובי מטריצה סימטרית ממשית כל הערכים העצמיים בכל איטרציה מצמידים את המטריצה במטריצה אוניטרית כך שסכום רבועי האיברים שמחוץ לאלכסון יקטן, וכך מלכסנים את המטריצה

ספקטרום

עבור אופרטורים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל ממד סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A-tI} . קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה הפונקציונלית.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", The Computer Journal, vol. 4, no. 3, pages 265-271 (1961, received Oct 1959) online at oxfordjournals.org;
    J.G.F. Francis, "The QR Transformation, II" The Computer Journal, vol. 4, no. 4, pages 332-345 (1962) online at oxfordjournals.org.
    Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem," USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 1, no. 3, pages 637–657 (1963, received Feb 1961). Also published in: Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961).



סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0