טור פורייה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
המחשת טור פורייה
הרכבה של פונקציה מפונקציה מחזורית והרמוניות

טוּר פוּרְיֶה הוא טור (סופי או אינסופי) של פונקציות מחזוריות, שמטרתו לקרב פונקציה נתונה. באופן עקרוני "טור פורייה" הוא דרך לתאר כל סוג של פונקציה מחזורית וההרמוניות שלה (שהן אותה פונקציה בסיסית עם תדר הולך וגדל) בעזרת חיבור של פונקציות טריגונומטריות בסיסיות (הפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס). שיטה זו פותחה על-ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה.

ניתן להוכיח שאפשר להציג כל פונקציה חלקה מספיק כסכום (ליתר דיוק, טור) של הרמוניות. המרה כזו של פונקציה נקראת פירוק פורייה, והסכום שנוצר נקרא טור פורייה. המרה זו היא שימושית ביותר בתחומים רבים כגון פיזיקה והנדסת אלקטרוניקה, והיא הכלי העיקרי לעיבוד תמונות ועיבוד אודיו.

במתמטיקה, לעיתים קרובות נוח להציג פונקציה מסוימת בתור סכום או טור של פונקציות פשוטות יותר. בצורה זו ניתן להעמיק את ההבנה של התנהגות הפונקציה על ידי הבנת התנהגות אברי הסכום (הטור). טור פורייה הוא סוג של טור שכזה, שבו מוצגת פונקציה כסכום (טור) של פונקציות מחזוריות.

בפיזיקה ובהנדסה, בעיקר בתחומים הנוגעים לגלים, נוח להציג את המידע בצורת סכום (טור) של הרמוניות. גם יישומי מחשב העוסקים בעיבוד תמונה וקול משתמשים רבות בטורי פורייה לצורך ניתוח ודחיסה של המידע.

בניסוח פורמלי יותר, טור פורייה הוא הצגה של פונקציה שריבועה הוא אינטגרבילי-לבג בקטע סופי כטור אינסופי של פונקציות הרמוניות וטריגונומטריות. זוהי בעצם גרסה בדידה להתמרת פורייה (או טרנספורם פורייה).

מבוא ורקע כללי

טור פורייה הוא תוצאה פרטית של התורה העוסקת בבסיסים אורתונורמליים על מרחב הילברט.

מבחינה אלגברית, מדובר בהצגת איבר במרחב וקטורי על ידי צירוף ליניארי של איברי בסיס אורתונורמלי של המרחב. כלומר, עבור בסיס אורתונורמלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{\hat{e}\right\} } האיבר מוצג על ידי

כיוון שהבסיס הוא אורתונורמלי, את המקדמים אפשר לחשב באמצעות הטלה:
ומובטח שהמקדמים יתאפסו עבור כל איברי הבסיס פרט לקבוצה בת-מנייה. לכן אפשר לרשום את ההצגה של כל איבר במרחב זה בצורה

טור פורייה הוא מקרה פרטי של בנייה זו. מאחר שמדובר בטור אינסופי, יש לטפל בבעיות התכנסות ולהראות שהטור אכן מתכנס אל האיבר שאותו מציגים. בסעיפים הבאים נעסוק בנושאים הקשורים ישירות לטור פורייה הטריגונומטרי. זהו טור פורייה הנפוץ ביותר ולעיתים קרובות כאשר אומרים "טור פורייה" סתם, מתכוונים אליו.

הגדרה פורמלית

תהי פונקציה, , כאשר הוא אוסף הפונקציות המדידות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע. אזי את אפשר להציג כפיתוח לטור אינסופי באופן הבא:

כאשר מקדמי פורייה, , נתונים על ידי
(נוסחה זאת נובעת משיקולי אורתוגונליות, ראו להלן). כל איבר בטור זה נקרא "אופן תנודה", Fourier mode או "הרמוניה". על ידי שימוש בנוסחת אוילר אפשר להציג את טור פורייה כצירוף ליניארי של סינוסים וקוסינוסים באופן הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]} כאשר המקדמים נתונים על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx}

את הקשר בין מקדמים אלה למקדמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_n} ניתן לחלץ בקלות והוא כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n = F_{-n}^*} . באמצעות החלפת משתנים ניתן להכליל את הפיתוח הזה לכל קטע סופי שהוא.

דוגמה

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f } הפונקציה הליניארית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)=\frac{x}{\pi}} בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [-\pi,\pi]} . כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להרחיב אותה באופן מחזורי. הפונקציה המורחבת נקראת גם "גל שן מסור". נשים לב, שהרחבה זו איננה פונקציה רציפה, אך הפיתוח לטור פורייה עדיין קיים.

גרף של פונקציית גל שן-מסור

נחשב את מקדמי פוריה שלה בהצגה הטריגונומטרית (נוח להשתמש בהצגה זו עבור פונקציות זוגיות או אי-זוגיות כפי שנראה להלן).

מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) } היא פונקציה אי-זוגית, והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(nx)} הן פונקציות זוגיות לכל n, המכפלות הן פונקציות אי זוגיות. כתוצאה מכך כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a_0 &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x}{\pi} dx = 0 \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x}{\pi} \cos(nx)dx = 0 \end{align} }

כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x}{\pi} \sin(nx)dx \\ &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin(nx)}{\pi} dx= \frac{2}{\pi}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n\pi}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2\pi}\right]_0^{\pi} \right) \\ &= \frac{2}{\pi}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \end{align} }

בסך הכל, טור פורייה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)=\frac{x}{\pi}} בקטע הוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} f(x) &= \frac{x}{\pi}=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \\ &= \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi) \end{align} }

חישוב סכומים חלקיים של איברי הטור ייתן קירוב של הפונקציה, שיהיה טוב יותר ככל שניקח יותר איברים, כמודגם בתמונה.

גרף המכיל סדרת קירובים לפונקציית גל שן-משור באמצעות סכומים חלקיים של טור פורייה.

בטור זה אפשר להשתמש כדי לחשב את הערך של פונקציית זטא של רימן עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ s=2} בעזרת שוויון פרסבל המאפשר להמיר את בעיית חישוב הטור לבעיה של חישוב אינטגרלים (אותה אפשר לחשב מפורשות).

תאוריה

המרחב L2

המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2[-\pi,\pi]} כולל את הפונקציות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע, כלומר, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f \in L^2[-\pi,\pi]} , ‏ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} פונקציה מדידה ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int_{-\pi}^{\pi}{|f(t)|^2 dt} < \infty} . מרחב זה הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lang f, g \rang = \int_{-\pi}^{\pi}{f(t) \bar{g}(t) dt}} , כאשר הוא הצמוד המרוכב של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(t)} .

במרחב הילברט זה – על אף שהוא מממד אינסופי – קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה, הפורשת קבוצה צפופה במרחב. ניתן לראות בכך הכללה של מושג הבסיס (ובפרט בסיס אורתונורמלי) של מרחב וקטורי מממד סופי (לעיתים קוראים גם למערכת אורתונורמלית שלמה אינסופית בשם "בסיס"). המתמטיקאי ז'וזף פורייה וממשיכיו הוכיחו שהפונקציות ההרמוניות יוצרות מערכת אורתונורמלית שלמה.

טור פורייה הוא למעשה דרך להציג איבר במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L^2} כצירוף ליניארי (בדרך כלל אינסופי) של איברי הבסיס הזה, כאשר המקדמים של הצירוף הליניארי נקראים מקדמי פורייה. ניתן לעשות זאת גם עם בסיסים אורתונורמליים אחרים, אבל ביישומים רבים מתגלה השימוש בטורי פורייה כיעיל במיוחד.

אורתונורמליות

בסיס ההרמוניות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left\{ \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}} \right\}_{n \in \mathbb{Z}}} הוא בסיס אורתונורמלי, כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lang \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}}, \frac{e^{imx}}{\sqrt{2 \pi}} \rang = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{inx}e^{-imx}\,dx = \delta_{n,m}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta_{n,m}} היא הדלתא של קרונקר.

מכאן נובעות הנוסחאות לחישוב המקדמים:

באופן דומה גם בסיס הסינוסים והקוסינוסים הוא אורתונורמלי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\cos(nt) \cos(mt) \ dt} = \delta_{m,n}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\sin(nt) \cos(mt) \ dt} = 0 \ \ \ \ }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\sin(nt) \sin(mt) \ dt} = \delta_{m,n}}

אפשר להשתכנע בכך בבדיקה ישירה או מכך שמקבלים אותו על ידי התמרה אוניטרית מבסיס ההרמוניות.

התכנסות

כאשר עוסקים בהתכנסות של טור פורייה יש להבדיל בין התכנסות בנורמה של הטור, לבין התכנסות נקודתית.

ההתכנסות בנורמה פירושה שהטור מתכנס במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} על פי הנורמה המוגדרת בו. כלומר, מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N} F_n\,e^{inx}\right|^2\,dx=0}

במילים פשוטות: כאשר מגדילים את מספר האיברים בטור החלקי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} לאינסוף, הנורמה של ההפרש בין הפיתוח החלקי לבין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} (שהיא האינטגרל של פונקציית ריבוע ההפרש) שואפת לאפס. תכונה זו מתקיימת עבור כל טור פורייה, בהיותו הצגת איבר ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L^2} על פי בסיס אורתונורמלי.

התכנסות בנורמה לא מחייבת התכנסות של הטור לערך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בכל נקודה בקטע - ההתכנסות הנקודתית של טור פורייה היא תכונה מורכבת יותר, ומחקר רב עוסק במציאת תנאים שבהם היא תתקיים במסגרת האנליזה ההרמונית.

בחישוב של טור פורייה לפונקציה נתונה f, יש שני שלבים, הפוכים זה לזה. בשלב ראשון מחשבים, מתוך ההנחה שקיים שוויון מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)=\sum_{n}(a_n\sin(nx)+b_n\cos(nx))} , את המקדמים המספריים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n,b_n} . חישוב כזה ניתן לערוך לכל פונקציה השייכת למרחב הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L^2} . לאחר מכן, מבקשים להציג את הפונקציה באמצעות המקדמים שהתקבלו, כלומר, דורשים כי לכל x, הטור באגף ימין יתכנס לערכה של הפונקציה בנקודה x.

כאשר פיתח פורייה את התאוריה שלו, ב-1807, לא היו בידיו כלים שיענו על הצורך בהתכנסות נקודתית, וזו הסיבה העיקרית לכך שעבודתו נדחתה בתחילה על ידי מתמטיקאים חשובים בני זמנו. בשאלה איזה הנחות של רציפות נכללות בהגדרת מושג הפונקציה היה ערפול מסוים במחצית הראשונה של המאה ה-19, ועבודתו של פורייה רק הקשתה על הבהרת התמונה. ב־1913 ניסח האנליטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין את ההשערה שטור פורייה של פונקציה רציפה יתכנס נקודתית בכל מקום - אלא שב-1926 מצא מתמטיקאי רוסי אחר, אנדריי קולמוגורוב, דוגמה נגדית שהפריכה השערה זו.

פתרון לבעיה זו ניתן על-ידי המתמטיקאי השוודי לנרט קרלסון ב-1966, כאשר הוא הוכיח שלכל פונקציה ששייכת למרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L^2} , ובפרט לכל פונקציה רציפה, יש טור פורייה המתכנס אליה כמעט בכל נקודה בקטע (מידתה של קבוצת הנקודות שבה אין התכנסות היא אפס). כלומר ההתכנסות של טור פורייה במקרים כאלה היא כמעט בכל מקום. על עבודתו זו, שנחשבה לפריצת דרך באנליזה הרמונית, ועל עבודות רבות אחרות, זכה קרלסון בפרס אבל לשנת 2006.

תופעת גיבס

תופעת גיבס היא תופעה שבה טור פורייה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה, מתכנס בנקודה זו לממוצע הגבולות מימין ומשמאל (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (f(x_-) + f(x_+))/2} ). יתרה מכך, סביב נקודת אי-רציפות מתקבלות תנודות חזקות; ככל שמוסיפים יותר איברים לקירוב, מצטמצמת הסביבה בה מופיעות התנודות, אך גובהן לא נחלש.

דעיכת מקדמי פורייה

קיים קשר ישיר בין "מידת החלקות" של פונקציה מסוימת לקצב הדעיכה של מקדמי פורייה שלה, קשר שבתורו מכתיב את טיב הקירוב של הפונקציה על ידי סכום פורייה סופי. עבור פונקציה ממחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C^k} , כלומר הגזירה ברציפות k פעמים, הערכים המוחלטים של מקדמי פורייה שלה אינם דועכים מהר יותר מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{n^{k+2+\epsilon}}} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon>0} . תופעה זו נובעת מן העובדות הבאות:

  • עבור פונקציות רציפות למקוטעין: "אבני הבניין" של טורי פורייה הן הרמוניות טריגונומטריות, שהן עצמן פונקציות רציפות במידה שווה. כיוון שכך, ניתן להראות שבסביבת נקודת אי-רציפות מסוג ראשון סדרת הסכומים החלקיים של טור פורייה לא יכולה להתכנס במידה שווה לממוצע של הגבול הימני והשמאלי של הפונקציה (תמיד ישנו "רעש" סופי מסוים בסביבת נקודת האי רציפות; ראו גם: תופעת גיבס). על פי מבחן M של ויירשטראס, התנהגות זו חייבת לבוא לידי ביטוי בהתכנסות בתנאי של סדרת המקדמים (ולא בהתכנסות בהחלט). מצד שני, לפי למת רימן-לבג, מקדמי פורייה שואפים בערכם המוחלט לאפס כאשר n שואף לאינסוף. לכן, ממבחן ההשוואה הגבולי עם הטור ההרמוני המתבדר, נובע שהערכים המוחלטים של מקדמי פורייה דועכים לאפס לאט יותר מאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{n^{1+\epsilon}}} , לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon>0} .
  • עבור פונקציה ממחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C^k} , ניתן להסתכל על הנגזרת ה-k+1, שהיא על פי ההנחה פונקציה רציפה למקוטעין, ואז לבצע אינטגרציה לאחור k+1 פעמים כדי לשחזר את הפונקציה המקורית. בכל צעד אינטגרציה, מקדם פורייה ה-n מוכפל ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{n}} , ולכן מקדם פורייה ה-n של f(x) מתנהג כמו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n\propto \frac{1}{n^{k+2}}} . בפרט, נובע מכך שעבור פונקציות חלקות (ממחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C^{\infty}} ), מקדמי פורייה דועכים "מהר מאוד" לאפס.

תכונות

בסעיף זה נסמן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_n e^{inx}}\;; \quad g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{G_n e^{inx}}\;; \quad h(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{H_n e^{inx}} }

כאשר אנו מניחים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,g,h} הן פונקציות המוגדרות על כל הישר באמצעות המשכה מחזורית של הגדרתן בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [-\pi,\pi]} .

ליניאריות

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)} , אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_n = \alpha F_n + \beta G_n} .

זהויות פלנשרל ופרסבל

הזהויות הבאות מראות את האוניטריות של הפירוק לטור פורייה. כלומר, פעולה זו שומרת על נורמה ומכפלה פנימית.

זהות פלנשרל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty F_nG^*_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)g^*(x)\,dx }

זהות פרסבל (על שם מארק אנטואן פרסבל):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \,}

ובבסיס הטריגונומטרי הממשי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx}


משפטים אלה אפשר להוכיח באמצעות אורתוגונליות.

תכונת ההזזה

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=f(x-y) \,\!} , אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_n = e^{-iny}F_n \,\!}

תכונת הקונבולוציה

אם h היא קונבולוציה ציקלית של f ו-g, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(t)=\int_{-\pi}^\pi f(t')g(t-t')\,dt'}

כאשר g היא מחזורית עם מחזור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi} , אזי טור פורייה של h מקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n=2\pi\,F_nG_n \,}

באופן הפוך, אם המקדמים Hn הם קונבולוציה של Fn ו Gn, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_k=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n G_{k-n}}

אזי בהכרח

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h(t)=f(t)g(t)\,}

תכונות אלה מוכחות באמצעות אורתוגונליות.

טורי פורייה בקטע כלשהו

נניח שנתונה לנו פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g: [a,a+\tau] \to \mathbb{R}} (אינטגרבילית בריבוע בקטע זה) ואנו ממשיכים אותה מחזורית בכל הישר הממשי. אזי טור פורייה שלה מוגדר על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G(n) \cdot e^{i \frac{2\pi}{\tau}n x}}

את מקדמי פורייה ניתן לחשב באמצעות הנוסחה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(n) = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} g(x)\cdot e^{-i \frac{2\pi}{\tau}n x}\, dx}

במונחי סינוסים וקוסינוסים הביטויים יראו כך:[1]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) + b_n \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n = \frac{2}{\tau} \int_{a}^{a+\tau} g(x) \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) dx}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b_n = \frac{2}{\tau} \int_{a}^{a+\tau} g(x) \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) dx}

שימושים

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא טור פורייה בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ^ Fourier Series, ב-MathWorld.
    הביטויים מתלכדים עם הזיהוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = 2 L} .
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0