תת-מרחב שמור

באלגברה לינארית תת-מרחב שמור של העתקה לינארית T, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה T שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. תת-מרחב כזה נקרא גם "תת-מרחב T אינווריאנטי".

אם W תת-מרחב שמור של T אז ניתן לצמצם את T לW ולקבל: ${T|}_W:W\to W$

הגדרה

יהי $W$ תת-מרחב ב-$V$ ותהי :$T:V\to V$ העתקה לינארית. נאמר ש $W$ תת-מרחב שמור T של $V$ אם $T(W)\subseteq W$.

תהי $A$ מטריצה ריבועית מסדר n מעל שדה $\mathbb{𝔽}$ נאמר ש$W$ תת-מרחב שמור A של ${\mathbb{𝔽}}^n$ אם לכל $w\in W$ מתקיים $Aw\in W$

דוגמה פשוטה

נגדיר העתקה לינארית באופן הבא: $T(x,y,z)=(x+2y+z,3x+4y-z,5z)$ אזי תת-המרחב $W:=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ הוא תת-מרחב שמור T, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של T עליו באופן הבא: ${T|}_W(x,y)=(x+2y,3x+4y)$

דוגמאות נוספות

יהי $V$ מרחב וקטורי ו$T:V\to V$ העתקה לינארית, אזי:

1. $V$ עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי T.
2. אם $\lambda$ ערך עצמי של T, אזי המרחב העצמי של $\lambda$ הוא שמור T
3. $ImT$ וגם $KerT$ תתי-מרחב שמורי T

תכונות

משפט הפירוק היסודי (פרימרי)

יהי $V$ מרחב וקטורי בעל מימד סופי, $T:V\to V$ העתקה לינארית ו$p$ הפולינום המינימלי של T, נוכל להציג את $p$ כמכפלה של גורמים אי פריקים $\prod _{i=1}^n{p}_i^{r_i}$.

אזי $V=Ker{p_1}^{r_1}\oplus \cdots \oplus Ker{p_n}^{r_n}$ פירוק ישר של $V$ לתתי-מרחב שמורי T.

בנוסף אם T לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של T.

פעולות על המרחב

יהי $U,W$ תתי-מרחב שמורי T של $V$, אזי:

• $U\cap W$ תת-מרחב שמור T.
• $U\oplus W$ תת-מרחב שמור T.
• אם $W$ מרחב עצמי של T, אזי כל תת-מרחב של $W$, הוא תת-מרחב שמור T.

תת-מרחב ציקלי

יהי $v\in V$ וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו$T:V\to V$ העתקה לינארית. אזי קיים $k$, כך ש $B=\{v,Tv,T^{2}v,...,T^{k-1}v\}$ קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב $W$ אשר $B$ הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של V ביחס ל-T ול-v, והוא תת-מרחב שמור הT הקטן ביותר המכיל את $v$.

הטלות

ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי $V$ מרחב וקטורי מימד n המחולק לסכום ישר של k≤n תתי-מרחב, לכל תת-מרחב $W_i$ נצמיד הטלה $E_i$, אזי $W_i$ הם שמורי T אם ורק אם $T{E}_i=E_{i}T$ לכל i.