שדה וקטורי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
המחשת שדה וקטורי

במתמטיקה שדה וקטורי הוא פונקציה חלקה בין יריעה לבין האגד המשיק ליריעה, כך שלכל נקודה מותאם וקטור משיק באותה הנקודה. במילים אחרות שדה וקטורי הוא חתך חלק מעל האגד המשיק של היריעה.

מקרה פרטי נפוץ, עבור יריעות שהן תת־קבוצות של מרחב אוקלידי הוא פונקציה המשייכת וקטור לכל נקודה במרחב. שדה וקטורי הוא למעשה הרחבה של שדה סקלרי. בזמן ששדה סקלרי הוא פונקציה המוגדרת , שדה וקטורי מוגדר .

שדות וקטוריים תלת־ממדיים

שדות וקטוריים, בעיקר בתלת־ממד שבו , הם דבר שימושי בפיזיקה למידול של תופעות כגון זרימה של נוזלים: מתאים עבור כל נקודה את גודל זרם וכיוונו, או שדות כח (חשמלי, מגנטי...) בהם הווקטור הוא הכוח.

שדה וקטורי בתלת־ממד המיוצג בקואורדינטות קרטזיות הוא למעשה שלוש פונקציות סקלריות ונרשם

שדה וקטורי פרמטרי

השדה הווקטורי יכול גם להיות פרמטרי, אם הנעלמים הם פונקציה של נעלמים אחרים. במקרה של הדוגמה הנ"ל, השדה הוא פרמטרי אם כל הנעלמים הם פונקציה של אותו הנעלם

שטף של שדה וקטורי

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – שטף
איור הממחיש את מושג השטף. כאן הטבעת השחורה מסמלת את שפת המשטח ואילו החצים האדומים מסמנים את השדה הווקטורי

באופן אינטואיטיבי, השטף של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הווקטורי העוברת דרך משטח מסוים ליחידת זמן. שטף כזה נהוג להגדיר עבור שדה חשמלי ושדה מגנטי וכן עבור שדות כוח נוספים.

אם קיים שדה וקטורי קבוע ונדרש לדעת כמה שדה וקטורי עובר דרך משטח מרובע (מסגרת ריבועית מלאה) בעל שטח , אזי השטף מוגדר להיות:

  • וקטור המשטח, שגודלו הוא כשטח המשטח, וכיוונו הוא ניצב למשטח (וקטור נורמלי).
  • היא הזווית שבין וקטור השדה לווקטור המשטח.

כאשר וקטור השדה ווקטור המשטח מקבילים זה לזה, השטף הוא מקסימלי ומרב העוצמה בוקעת דרך המשטח. לעומת זאת, כאשר השדה הווקטורי מאונך לווקטור המשטח, השטף שווה ל־0 ואז לא עוברת שום עוצמה דרך המסגרת.

מהגדרה זו מקבלים כי יחידות השטף הן היחידות של הווקטור כפול יחידות שטח.

כאשר עוסקים במשטח כלשהו ושדה וקטורי שאיננו אחיד במרחב, מגדירים שטף דיפרנציאלי בכל אלמנט שטח של המשטח ואז מבצעים אינטגרציה על פני המשטח:

משפט חשוב מאד לגבי שטף הוא משפט גאוס ("משפט הדיברגנץ") הקובע שאינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי על דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח. כלומר:

יחידת המידה הסטנדרטית למדידת שטף מגנטי היא ובר וסימולי Wb.

ראו גם

קישורים חיצוניים


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.