סימן לז'נדר

סימן לז'נדר הוא מושג בתורת המספרים. הסימן קרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. סימן לז'נדר מופיע בהקשר של פירוק לגורמים ושארית ריבועית.

סימן יעקובי הוא הרחבה של סימן לז'נדר.

הגדרה

תחום הפונקציה $(\frac{a}{p})$ הוא קבוצת כל הזוגות הסדורים $(p, a)$ כאשר $p$ ראשוני אי-זוגי ו- $a$ שלם, וטווח הפונקציה הוא ${- 1, 0, 1}$ .

עבור כל זוג $(p, a)$ סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

(\frac{a}{p}) = {\begin{cases} 0 & a \equiv 0 (\mod p) \\ 1 & a \equiv̸ 0 (\mod p) : a \equiv x^{2} (\mod p) \\ - 1 & a \equiv̸ 0 (\mod p) : a \equiv̸ x^{2} (\mod p) \end{cases}

הגדרתו המקורית של לז'נדר הייתה באמצעות הנוסחא המפורשת:

(\frac{a}{p}) \equiv a^{\frac{p - 1}{2}} (\mod p) and (\frac{a}{p}) \in {- 1, 0, 1}

אם $p, q$ ראשוניים אי-זוגיים ו- $a, b$ שלמים, אזי:

$(\frac{a b}{p}) = (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$
אם מתקיים $a \equiv b (\mod p)$ אז מתקיים גם: $(\frac{a}{p}) = (\frac{b}{p})$
$(\frac{1}{p}) = 1$
$(\frac{- 1}{p}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2}} = {\begin{cases} 1 & : p \equiv 1 (\mod 4) \\ - 1 & : p \equiv 3 (\mod 4) \end{cases}$
$(\frac{2}{p}) = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}} = {\begin{cases} 1 & : p \equiv \pm 1 (\mod 8) \\ - 1 & : p \equiv \pm 3 (\mod 8) \end{cases}$
$(\frac{3}{p}) = {\begin{cases} 1 & : p \equiv \pm 1 (\mod 12) \\ - 1 & : p \equiv \pm 5 (\mod 12) \end{cases}$
$(\frac{5}{p}) = {\begin{cases} 1 & : p \equiv \pm 1 (\mod 5) \\ - 1 & : p \equiv \pm 2 (\mod 5) \end{cases}$
$(\frac{p}{q}) (\frac{q}{p}) = (- 1)^{(\frac{p - 1}{2}) (\frac{q - 1}{2})}$ (משפט ההדדיות הריבועית)