הלמה של קרונקר

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, הלמה של קרונקר (על שם המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר) היא משפט מתמטי הקושר בין התכנסות סדרה לבין התכנסות טור המתאים לה במובן שיתואר להלן.

משפט זה משמש פעמים רבות לטפל בהתכנסות של סכומים ממוצעים של משתנים מקריים בלתי-תלויים. דוגמה בולטת לכך היא אחת ההוכחות של החוק החזק של המספרים הגדולים, העושה שימוש במשפט זה יחד עם משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב.

נוסח פורמלי

תהי $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרת מספרים ממשיים. נניח כי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n=s$ .

אזי לכל סדרה מונוטונית עולה של מספרים ממשיים $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to \mathrm{\infty }$ מתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{a_n}\sum _{k=1}^n{a}_k{x}_k=0$ .

הוכחה

נסמן $S_k=x_1+\cdots +x_k$ . ניתן לראות שמתקיים

$$\frac{1}{a_n}\sum _{k=1}^n{a}_k{x}_k=S_n-\frac{1}{a_n}\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)S_k$$

יהי $\epsilon >0$ . מההנחה $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_k=s$ קיים $N$ כך שלכל $k>N$ מתקיים $|S_k-s|<\epsilon$ .

נפרק את הסכום שקיבלנו לשני סכומים:

$\begin{array}{rl}{S}_n& -\frac{1}{a_n}\sum _{k=1}^{N-1}(a_{k+1}-a_k)S_k-\frac{1}{a_n}\sum _{k=N}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)S_k\\ & =S_n-\frac{1}{a_n}\sum _{k=1}^{N-1}(a_{k+1}-a_k)S_k-\frac{1}{a_n}\sum _{k=N}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)s-\frac{1}{a_n}\sum _{k=N}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)(S_k-s)\\ & =S_n-\frac{1}{a_n}\sum _{k=1}^{N-1}(a_{k+1}-a_k)S_k-\frac{a_n-a_N}{a_n}\cdot s-\frac{1}{a_n}\sum _{k=N}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)(S_k-s)\end{array}$

כאשר $n\to \mathrm{\infty }$ האיבר הראשון מתכנס ל-$s$ והאיבר השלישי מתכנס ל-$-s$ , והם מבטלים זה את זה; האיבר השני מתכנס ל-0 כי $a_n\to \mathrm{\infty }$ ; והאיבר האחרון חסום על ידי $\epsilon \cdot \frac{a_n-a_N}{a_n}\le \epsilon$ .

לקריאה נוספת

• Shiryaev, Albert N. (1996). Probability (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-94549-0.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: ref duplicates default (link)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0